Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Графическое изображение статистического ряда. Эмпирическая функция распределения

Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов. Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n =100.

Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n .

Вариационный ряд - последовательность значений наблюденной величины, расположенных в порядке возрастания. Промежуток между крайними членами В. р. называют интервалом варьирования, а длину этого интервала — размахом. Крайние члены вариационного ряда

называются экстремальными значениями.

Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. Анализ рядов распределения можно проводить на основе их графического изображения. Применяются полигон и гистограмма. Полигон – ломаная кривая, строится на основе прямоугольной системы координат, когда по оси Х откладываются значения признака, а по оси У – частоты. Для дискретных рядов на оси откладываются сами значения признака, а для интервальных – середины интервалов. На основе гистограмм можно строить диаграммы накопленных частот с последующим построением интегральной эмпирической функции распределения.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения:

mx- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п- общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х < х равна. mx/n. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х, т.е.

(F*)

Эмпирическая функция обладает всеми свойствами F(x):

1) ее значения принадлежат отрезку [0, 1];

2) неубывающая;

3) если хi -наименьшая варианта, то

(F*)

если x k - наибольшая варианта, то

(F*)

Точечные оценки неизвестных параметров распределения, их классификация. Точечные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии. Доказательство смещенности выборочной дисперсии

Оценка параметра — определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т. е. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания)служит выборочная средняя. Генеральная дисперсия имеет две точечные оценки: — выборочная дисперсия, которая исчисляется при н 30; S^2 — исправленная выборочная дисперсия, которая исчисляется при n < 30. Причем в математической статистике доказывается, что