Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
ЛОДУ с постоянными коэффициентами у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0, где все Pi (i= )= const будем искать частное решение y=ekx , к – неизвестная постоянная y’=kekx y’’=k2ekx …… y(n)=k(n) ekx
k(n) ekx + P1k(n-1) ekx + … + Pnekx = ekx(k(n) + P1k(n-1) + … + Pn) = 0 ekx 0 => k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0, (1) ð y=ekx - решение ДУ (1) – характеристическое уравнение для ЛОДу с постоянными коэффициентами, выражения слева характеристический многочлен. Решением характеристич уравнения (1) дает систему частных решений ЛОДу, структура ФСР зависит от вида корней характер уравнения. (1) – алгебраическое уравнение n-ой степени, может иметь не более, чем n корней, обознач-м эти корни характеристического уравнения через k1 ,k2 …kn Возможны случай 1)все корни хар-го уранения вещественны и различны 2)все корни различны, но среди них есть комплексные 3)среди действительных корней имеются кратные 4)среди комплексных корней есть кратные Общий алгоритм решения ЛОДу с постоянным коэффициентом 1) составим характер уравнение : y=ekx , k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0 2) найти корни характер уравнения k1 ,k2 …kn 3) по характеру корней находим частное линейно-независимое решение по таблице 1 4) подставляем частное решение на основе Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и получаем общее решение y =
55. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре общего решения (док. для n=2). Теорема о суперпозиции решений (док. для n=2). ЛНДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b) Теорема о структуре общего решения ЛНДУ Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения Док-во: Для уравнения 2-го порядка ( но теорема применима для уравнений любого порядка) n=2 (1’) y” + P1(x) y’ + P2(x) y = f(x) Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ (х) – общее решение ЛОДУ Показать, что (2) у= у*+ - общее решение ЛНДУ Найдем: Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’) у*”(x) + ”(x) + P1(x)[ у*(x)+ ’(x)] + P2(x)[ у*(x)+ (x)] = = [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [ ”(x) + P1(x) ’ (x)+ P2(x) (x)] = f(x) + 0 = 0 = C1y1(x) + C2y2(x), y1,y2 – частное решение ЛОДУ y” + P1y’ + P2 = 0 C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям y(x0)=y0 , y’(x0)=y0’, для любых х0 (а,в), и любых y0 ,y0’ C1y1(x0) + C2y2(x0) + у*(x0) = y0 C1y’1(x0) + C2y’2(x0) + у*(x0) = y0’ Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых 0 , ’0 ,y*0 ,y*’0 , это означает у= у*+ - общее решение ЛНДУ Теорема2 принцип суперпозиции (принцип сложения решений) Если функция yi(x) является решением ЛНДУ (3) y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = fi(x) то функция = α1y1 + α2y2 + … + αnyn , то это функция является решением y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = α1 f1(x) + α2 f2(x) + … + αn fn(x) (4) Док-во: для n=2 Подставим y, y’, y”, в (4) , учитываем что y1 y2 решение соответственного уравнения (3) α1y1” + α2y2” + P1(x)[ α1y1+ α2y2] = = [α1y1” + P1(x)α1y’1 + P2(x)α1y1] + [α2y2” + P1(x)α2y’2 + P2(x)α2y2] = α1f1(x) + α2f2(x)
56. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных (вывод рабочей формулы). Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэф-ми. Ур-е у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) : Pi=const Метод неопр-х коэф-в можно применять если правое ур-е имеет следующий вид: f(x)= , , -многочлены степени g и r соотв-но a и b некоторые числа. В основе метода неопр-х коэф-в лежит знание формы частного решения, а именно частное решение стоит искать в аналогич-ой форме свободного члена.
Замечание к таблице: 1)степени многоч-ов P и Q в случаях (3) и (4) можно считать одинаковыми, если они различны, то коэф-ты при недостающих степенях одного из многоч-ов можно считать=0. 2)правая часть ур-я может содержать несколько слагаемых; в этом случае сост-ся из неск-ких слагаемых в соотв-ии с Теоремой о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ
Метод вариации производных постоянных(метод Лагранджа). Метод позволяет найти решение ДУ независимо от вида правой части, когда известно общее решение соотв-го однородного ДУ. Например: ДУ 2-го порядка. Пусть y”+P (x)y’+P (x)y=f(x) (1) пусть y (x) и y (x)-ФСРЛОДУ y”+P (x)y’+P (x)y=0 (x)= C y (x)+C y (x) (2). Частное решение y*(x) в виде (14) считая при этом C и C не постоянными, а неизв-ми функциями от x. y*= C (x)y (x)+C (x)y (x), y*= C’ (x)y (x)+C(x) y’ (x)+C’ (x)y (x)+ C(x) y’ (x) Пусть C (x) и C (x) C’ (x)y (x)+ C’ (x)y (x)=0 /справедливое равенство (3), тогда y* ’= C (x)y’ (x)+ C (x)y’ (x); y* ”= C (x)y’ (x)+ C (x)y” (x)+ C’ (x)y’ (x)+ C (x)y” (x). Подставим y*, y* ’, y* ” в (1): C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C’ (x)y’ (x)+ C’ (x)y’ (x)=f(x). Т.к. y (x), y (x) решения ОДУ, то выражения []=0 C’ (x)y’ (x) + C’ (x)y’ (x)=0. Объясним два условия и (3): C’ (x)y (x)+ C’ (x)y (x)=0 C’ (x)y’ (x)+ C’ (x)y’ (x)=f(x) (4)
Неопр-е ф-ии C’ (x) и C’ (x). Определитель этой системы: W[y , y ]= 0 решая систему мы получим C (x)= (x), C (x)= (x) проинтегрируем и получим решение C (x) и C (x) найдены. Подставим в y*. Для ЛНДУ n-го порядка ф-ии C (x) определяются из системы: C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0 C’ (x)y’ + C’ (x)y’ +…+ C’ (x)y’ =0 …………………………………………… C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0 C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =f(x)
Алгоритм решения ЛНДУ 1) найти ФСР однородного уравнения и записать его общее решение (ОУ) 2) записать частное решение неоднородного ДУ в форме общего решения ОУ считая Ci=Ci (x) 3) построить систему для определения Ci ‘(x) – решить ее 4) найти Ci (x) и подставить их в общее решение НДУ
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (651)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |