Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Копцова Александра Владимировича Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны. Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.
Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными . Решение. Проинтегрируем обе части равенства: . По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных: где С1 и С2 – произвольные постоянные. Мы пришли к неявно заданной функции , которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, , где . То есть, функция является общим решением исходного дифференциального уравнения.
Ответ можно записать в любом из трех видов или , или . Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
В дифференциальных уравнениях или переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как .
Найти все решения дифференциального уравнения . Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y: Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество , поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду. Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными : В преобразованиях мы заменили C2 - C1 на С. Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции . На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства: Ответ: . Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0
b ≠ 0 приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными введением новой переменной z = ax + by, где z представляет собой функцию аргумента x. В этом случае После подстановки в исходное уравнение и небольших преобразований приходим к уравнению с разделенными переменными Рассмотрим пример.
Решение. Пусть z = 2x + y, тогда Подставим полученные результаты в исходное уравнение и преобразуем его к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными: Разделяем переменные и интегрируем обе части равенства . Интеграл в левой части найдем методом интегрирования по частям, а интеграл в правой части является табличным: Следовательно, . Если принять C = C2 - C1 и сделать обратную замену z = 2x + y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции: . Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e. Для этого подставляем x = 0 и y(0) = e в общее решение дифференциального уравнения и находим значение константы С: Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее условию y(0) = e, имеет вид .
В условии задачи ничего не сказано об интервале, на котором требуется найти общее решение дифференциального уравнения. В таких случаях решение проводится для всех значений аргумента x, при которых исходное дифференциальное уравнение и его решения имеют смысл. Для данного примера дифференциальное уравнение имеет смысл при .
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .
Если , то и по правилу дифференцирования дроби . В этом случае уравнения примут вид или . Если принять , то y = x ⋅ z и по правилу производной произведения . В этому случае уравнения сведутся к или .
Решение. Примем , тогда . Подставим в исходное уравнение: Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его. После обратной замены получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции .
. Делением числителя и знаменателя правой части на yn или xn такие дифференциальные уравнения приводятся к виду или .
Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. В этом примере x и y отличны от нуля. Разделим и числитель и знаменатель правой части равенства наx2: Введем новую переменную , тогда . Подставляем в исходное уравнение Получили дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решаем его В этом примере можно получить решение и в явном виде. Для этого примем и воспользуемся свойствами логарифма:
Опишем решение для этой замены. Разделим и числитель и знаменатель на y2: Пусть , тогда . Подставляем все в исходное уравнение и получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . После разделения переменных приходим к равенству . Интегрируем его Возьмем сначала интеграл . После разложения на простейшие дроби подынтегральной функции интеграл примет вид . Теперь проведем интегрирование простейших дробей: Теперь найдем интеграл : В итоге имеем или , где . После проведения обратной замены и некоторых преобразований придем к тому же результату . Сделаем вывод. В этом примере при замене решение оказалось более трудоемким, чем при замене . Для себя можно отметить, что если решение дифференциального уравнения или оказывается сложным при выбранной замене , то можно попробовать ввести другую переменную, то есть .
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными . Разберемся на примере.
Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Составляем и решаем систему линейных уравнений Делаем замену переменных После подстановки в исходное уравнение получаем . После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем . Вводим новую переменную , тогда Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену : Это есть общее решение дифференциального уравнения.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (961)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |