Методические указания для выполнения контрольной работы

2015-12-07

345

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

12 Следующая ⇒

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Дисциплина: Элементы высшей математики

Специальность: 230115 Программирование в компьютерных системах

№ п/п	Содержание самостоятельной работы
1.	Составление уравнения прямых.
2.	Кривые 2 порядка: окружность, эллипс,гипербола,парабола.
3.	Построение кривых 2 порядка.
4.	Составление уравнений кривых 2-го порядка
5.	Непрерывные функции, их свойства. Замечательные пределы.
6.	Точки разрыва, их классификация.
7.	Правило Лопиталя.
8.	Вычисление односторонних пределов.
9.	Монотонность функции. Экстремумы функций.
10.	Асимптоты графика функции.
11.	Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
12.	Исследование функции с помощью производной 1,2 порядков.
13.	Неопределенный интеграл, его свойства, таблица основных интегралов.
14.	Определённый интеграл, его свойства.
15.	Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла
16.	Нахождение области определения функций двух переменных
17.	Предел и непрерывность. Частные производные.
18.	Частные производные высших порядков.
19.	Двойные интегралы и их свойства. Повторные интегралы.
20.	Определение обыкновенных ДУ. Общее и частное решение. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными.
21.	Однородные уравнения 1 -го порядка. Уравнения, приводящиеся к однородным.
22.	Двойные интегралы и их свойства. Повторные интегралы.
23.	Определение обыкновенных ДУ. Общее и частное решение. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными.
24.	Однородные уравнения 1 -го порядка. Уравнения, приводящиеся к однородным.
25.	ДУ 1 -го порядка с разделяющимися переменными. Решение ОДУ 1-го порядка
26.	Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
27.	Линейные неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
28.	ДУ, допускающие понижение степеней

Литература.

1. Щипачев B.C. «Высшая математика». - М.. «Высшая школа», 2008;

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю. А. «Элементы высшей математики», М- «Академия», 2008;

3. Богомолов Н. «Практические занятия по математике». - М.. «Высшая школа», 2008;

4. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление». Т. 1,2. - М., «Наука», 2008;

5. Щипачев B.C. «Курс высшей математики», М-Проспект, 2009.

6. Кремер Н. Ш. «Высшая математика для экономических специальностей», ч. 1,2, М-2010г.

7. В. И. Ермакова «Сборник задач по высшей математике для экономистов», М- Инфра, 2010г.

Специальность: 230115 Программирование в компьютерных системах

Группа:ПКC-5208

Предмет: Элементы высшей математики

Преподаватель:Афонина надежда Евгеньевна

Правила выполнения и оформления

Контрольных работ

1. На титульном листе работы должны быть разборчиво написаны фамилия и инициалы студента, номер варианта (соответствует последней цифре в номере зачётной книжки)

2. Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

3. Перед решением задачи следует выписать полностью ее условие.

4. Решение задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

5. Если после проверки контрольной работы поставлена отметка "Неудовлетворительно", необходимо в этой же тетради сделать работу над ошибками и представить работу для повторной проверки. Это необходимо сделать в кратчайшие сроки.

Вариант №1.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ; б) ;

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления

функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции : .

7.Найти общее решение дифференциального уравнения

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б)

Вариант № 2.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ; б) ;

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

7. Найти частные производные и полный дифференциал функции : .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б) .

Вариант № 3.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ;

б) .

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :

7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) ;

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница. а) ; б)

Вариант № 4.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ; б) .

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :

7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б)

Вариант № 5.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ; б)

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :

7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б) .

Вариант № 6.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ;

б) .

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :

7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б) .

Вариант № 7.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) б) .

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :

7.Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б) .

Вариант № 8.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ;

б) .

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции:

7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б) .

Вариант № 9.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ;

б) .

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции .

7.Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) .

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б)

Вариант № 0.

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

2. Даны вершины треугольника ,

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол треугольника;

г) длину высоты, проведенной из вершины ;

д) площадь треугольника.

3. Найти пределы функций.

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Найти производные заданных функций.

а) ; б) .

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции

7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

8. Найти неопределенные интегралы.

а) ; б) ;

9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) ; б) .

Методические указания для выполнения контрольной работы.

1.Решите систему методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.

Решение.

Вычислим определитель матрицы .

Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

1) Метод Крамера: .

2) Метод обратной матрицы:

3) Метод Гаусса:

Вывод.Сравнивая результаты во всех трёх случаях, видим, что решения совпадают: .

2. Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

в) внутренний угол А треугольника;

г) длину высоты, опущенной из вершины А;

д) площадь треугольника.

Решение.

а)Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение стороны АВ: , или (АВ).

Уравнение стороны АС: или (АС)

в)Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых выложим по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора

г)Длину высоты AD^BC найдем как расстояние от данной точки

А(-3;-2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле

, где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

Получим (мин. ед.)

д)Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.

Вычислить ее через координаты вершин треугольника по формуле .

Получим .

Итак, площадь треугольника S_ABC = 30 кв. ед.

3. Найти пределы функций.

а).

Здесь также непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби при не имеют конечных пределов. Это неопределенность вида . Для раскрытия ее разделим числитель и знаменатель на х в высшей степени, т.е. на,изатем перейдем к пределу.

Здесь - бесконечно малые функции при, и поэтомуих пределы равны нулю.

б) .

Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. Для значения имеем тождество

Поэтому пределы этих функций равны между собой:

в) Найти .

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности вида . Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, выделим множитель в числителе и в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные, соответственно, числителю и знаменателю:

Тогда

4. .

Здесь имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом.

Введем новую переменную. Пусть , тогда , при , . Следовательно:

5. Найти производные заданных функций.

а).

Преобразуем функцию: . Тогда

_Б)

Находим производную сложной функции:

5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1) Функция определена при всех значениях х, кроме х=2, т.е.

2) Четность. . Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Функция не периодическая.

4) Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Очевидно, если х=0, то у=0, и если у=0, то х=0. Следовательно, график функции проходит через начало координат.

5) Функция непрерывна в области своего определения.

Поскольку и , то точка х=2является точкой разрыва второго рода. Исследуем поведение функции на бесконечности.

6) Найдем ассимптоты графика функции. Известно, что если , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции. Если и , то прямая является наклонной асимптотой графика функции . Поскольку и , то прямая х=2 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем

; т.е. k=1.

, т.е. .

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика функции.

2. .

Найдем промежутки монотонности функции и точки экстремума. Для этого определим . Производная обращается в ноль при х=0 и 4, апри х=2 не существует.

+ - - +

0 2 4 X

При , следовательно, на этом интервале функция возрастает.

При функция на этом интервале убывает. Следовательно, х=0является точкой максимума.

При - убывает.

При - возрастает.

Следовательно, при х =4 функция имеет минимум:

3. .

Определимпромежутки выпуклости и вогнутости графика функции. Для этого найдем вторую производную:.

Вторая производная на области определения и не существует при х=2. Исследуем знак второй производной.

- +

Ç 2 È X

При , следовательно, вэтом интервале график функции выпуклый.

При график функции вогнутый. Точек перегиба график функциине имеет.

4. График:

-2 0 2 X

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :

Решение

Найдём частные производные ; . Составим полный дифференциал по формуле .

Получим .

7.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет общему виду линейных уравнений . Будем искать решение в виде , где , - дифференцируемые функции от . Тогда . Подставляя , в данное уравнение, получим