Линейные уравнения и уравнение Бернулли
Уравнение вида (23) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка, где - удовлетворяет условию теоремы 1.1. Решение уравнения (23) будем искать в виде произведения некотоарых функций , (24) где и и v отличны от нуля. После подстановки в уравнение (23) значений у и , получим . (25) в силу произвольности выбора функций и и v, можно положить, что . Откуда легко определяется функция v . (26) Подставив найденное решение (26) в (25), получим уравнение с разделяющимися переменными , (27) решение которого имеет вид . (28) Найденные значения и и v в (24) дают окончательное решение . (29) Из формулы (29) следует, что решения линейного дифференциального уравнения имеют вид , (30)
т.е. у есть линейная функция произвольной постоянной. Пусть у1, у2, у - различные решения, тогда отношение , есть величина постоянная, на рис. 6 это отношения Семейство интегральных кривых линейного уравнения делит в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя кривыми этого семейства. Уравнение Бернулли (31) является обобщением линейного дифференциального уравнения. Деление уравнения на ут дает . (32) Введение вместо у новой искомой функции и вида приводит к линейному дифференциальному уравнению . Пример 1. Решить уравнение . Будем считать у - независимой переменной, а х - функцией, тогда преобразуется в линейное уравнение . (33) Положим х = uv, тогда (33) примет вид . (34) Выбираем теперь функцию v так, чтобы выполнялось равенство , отсюда . (35) Оставшаяся часть уравнения (34) дает возможность найти функцию и, зная v - (35), . Разделяя переменные и интегрируя каждую часть, получим . (36) С учетом (35) и (36) решение уравнения представляет интегральную кривую вида . Пример 2. Найти кривую, касательная к которой в точке (хо, 2уо) проходит через точку . Уравнение касательной в точке (хо, 2уо) запишем в виде . (37) По условию точка удовлетворяет уравнению касательной, тогда для всех таких точек равенство (37) дает дифференциальное уравнение
представляющее собой уравнение Бернулли (т = 2). После деления (38) на у 2 , вводим вместо у новую искомую функцию z = y-1, , что приводит к линейному дифференциальному уравнению . Решив это линейное уравнение относительно величины z, найдем: . Учитывая, что z = y-1, получаем .
[1] Изоклиной называется кривая, в каждой точке которой направления поля имеют одинаковый угловой коэффициент. Изоклина для уравнения (4) задается формулой .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (379)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |