Уравнения с разделяющимися переменными. где h(y) отлична от нуля всюду на области В, g(x) - определена и непрерывна в В называется
Уравнение , (6) где h(y) отлична от нуля всюду на области В, g(x) - определена и непрерывна в В называется уравнением с разделяющимися переменными. Деля обе части на h(y) и умножая на dx, получим равенство двух дифференциалов . (7) Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым, . (8) Уравнение, записанное в виде , (9) допускающие выбор в качестве неизвестной функции как у, так и х, решается методом разделения переменных. Общий интеграл уравнения (9) имеет вид . (10) Пример 1. Решить уравнение . Интегрируем его для у ¹ 3 . Его решение представляет собой функцию . Прямая у = 3 - частное решение. С учетом проведенных рассуждений общее решение можно переписать в виде . Если в уравнении (6) g(х) разрывна в некоторой точке х = x и обращается в бесконечность именно в этой точке, а во всех других точках заданной области непрерывна, то решение (8) соответствует общему решению в каждой точке множества . В точках (x, у) решение определяется из перевернутого уравнения и присоединяется к решению уравнения (6). Это решение может оказаться особым, если в каждой его точке нарушается единственность или если единственность сохраняется во всех точках этого решения, то оно является частным. Пример 2. Уравнение при правая часть определена и непрерывна, поэтому формула дает общее решение. Прямые является решением перевернутого уравнения , причем частным решением и асимптотами общего решения исходного уравнения. Однородные уравнения
Функция f(x,y) называется однородной степени п, если справедливо равенство . (11) Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правая часть - однородная функция нулевого порядка. Однородное уравнение можно преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Выбрав , функция f(x,y) = f(1,y/х). Сохраняя прежнюю независимую переменную х, введем новую искомую функцию u = y/х, откуда . Тогда исходное уравнение преобразуется в уравнение, допускающее разделение переменных . (12) Если рассмотреть преобразование подобия плоскости с центром подобия в точке (0,0): х1 = kx, у1 = ky (k > 0). (13) Это преобразование не изменит вид уравнения (12) (с учетом, что и = у/х), то есть преобразование (13) не меняет всей совокупности решений уравнения. Таким образом, все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат. Дифференциальные уравнения вида (14) приводятся к однородным уравнениям подстановкой вместо х и у новых переменных x и h: (15) где a и b - постоянные, которые определяются так, чтобы числитель и знаменатель преобразованного уравнения не содержал свободных членов. a и b определяются из системы (16) Это возможно, если . (17) В этом случае уравнение (14) преобразуется к однородному . Если условие (17) не выполняется, то имеет место пропорциональность . Вводя новую функцию и вместо у в уравнение (14) , (18) получим уравнение с разделяющимися переменными .
Пример 1. Найти кривые, у которых подкасательная равна сумме абсциссы и ординаты точки касания. По условию отрезок проекции касательной АМ на ось ОХ равен АМ1 (рис. 4). Тогда . (19) Точка А (х1, 0) удовлетворяет уравнению касательной к кривой , тогда . С учетом формулы (19) получаем дифференциальное уравнение . (20) Полученное уравнение является однородным. Введя новую переменную . Пример 2. Решить уравнение . Так как определитель правой части отличен от нуля, то чтобы свести уравнение к однородному, перенесем начало координат в точку с координатами (a,b), то есть заменим . Подставляя в исходное уравнение, получим . (21) Подбираем числа a и b так, чтобы (22) Это возможно, т.к. определитель системы (22) отличен от нуля a = -1, Пусть и = h/x и , тогда (21) примет вид . Разделяя переменные и интегрируя, получим . С учетом вновь введенных переменных общее решение уравнения перепишем так: . Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой (число m заранее неизвестно). Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену переменной и потребовать, чтобы уравнение стало однородным. Это не всегда возможно, т.к. на одно число m составляется переопределенная система. Если же такого m найти нельзя, то уравнение не приводится к однородному. Пример 3. Приведем уравнение к однородному. После замены получаем уравнение вида:
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (335)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |