Раскрытие неопределенностей
О конечных пределах
Справедливы следующие теоремы: 1. , (С - постоянная) 2. 3. Если каждая из функций f(х) и g(х)имеет при конечный предел, то Для нахождения предела элементарной функции f(х) при х→a в случае, если а - конечная точка, принадлежащая области определения f(х), нужно вычислить значение этой функции при х = а. Это значение и будет искомым пределом, т.е. ПРИМЕР 10.Найти пределы функций при а) б) в) РЕШЕНИЕ:Данные функции элементарные, поэтому можно применить сформулированное правило: а) б) в)
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция называется бесконечно малой в точке а (или при ), если функция называется бесконечно большой в точке а (или при ), если Справедливы теоремы: 1. Сумма конечного числа бесконечно малых в точке a функций -бесконечно малая функция. 2. Если f(x) - функция, ограниченная в некоторой окрестности точки а, функция g(х) - бесконечно малая в этой точке, то функция f(x) ∙ g(х) - бесконечно малая. 3. Если при функция f(x) стремится к отличному от нуля пределу, а функция g(х)- бесконечно большая при , то функция f(x) ∙ g(х) - бесконечно большая при . 4. Если функция f(x) - бесконечно малая в точке аи в некоторой окрестности этой точки не равна нулю, то функция - бесконечно большая в точке а; если f(x) - бесконечно большая в точке а, то - бесконечно малая. ПРИМЕР 11.Найти a) ; б) . РЕШЕНИЕ: а) При функция (х - 1) - бесконечно малая, значит, - бесконечно большая, следовательно, - бесконечно большая, т.е. б) При функция (х2 + 3) -бесконечно большая, поэтому - бесконечно малая. Функция sinx - ограниченная, значит, произведение - бесконечно малая, т.е.
Раскрытие неопределенностей Если при формальной подстановке предельного значения аргумента получается выражение вида то для нахождения пределов функций необходимо проводить преобразования данных выражений. ПРИМЕР 12.Найти РЕШЕНИЕ:Непосредственная подстановка значения приводит к неопределенности вида . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, выделим общий множитель и сократим на него дробь. Для разложения числителя воспользуемся формулой: . В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен. Если квадратный трехчлен имеет корни , то он раскладывается на множители следующим образом: . Данный квадратный трехчлен имеет корни поэтому Таким образом, ПРИМЕР 13.Найти РЕШЕНИЕ: Непосредственно подставляя х = 0, получаем неопределенность . Умножим и разделим данную дробь на выражение, сопряженное числителю, то есть на Замечание: Если в примере иррациональность имеется в числителе и знаменателе дроби, то дробь следует умножить и разделить на выражение, сопряженное числителю и на выражение, сопряженное знаменателю. ПРИМЕР 14. Найти РЕШЕНИЕ: В этом примере неопределенность вида Вынесем за скобки в числителе х3, а в знаменателе х2 (наивысшую степень х для каждого многочлена): Величины 1/х, 1/х2,1/х3, обратные бесконечно большим,- бесконечно малые, и, значит, выражение в скобках стремится к 3/7. х - бесконечно большая величина, следовательно, произведение х ∙ 3/7 также величина бесконечно большая, то есть Аналогичный прием вычисления пределов можно использовать для раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций. ПРИМЕР 15.Найти . РЕШЕНИЕ: Так как , то x>0 и, значит, |x| = x. Поэтому ПРИМЕР 16.Найти . РЕШЕНИЕ:Имеем неопределенность вида ( ). Умножим и разделим данное выражение на сопряженное:
Получим неопределенность вида Раскроем ее стандартным способом: Так как , то x<0 и, значит, |x| = -x. Тогда
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (450)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |