Законы Ома и Джоуля - Ленца в интегральной форме. Обобщенный закон Ома

Немецкий физик Г. Ом экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т.е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника:

, (9.3.1.)

где R - электрическое сопротивление проводника. Уравнение (9.3.1.) выражает закон Ома для участка цепи(не содержащего источника ЭДС).

Закон Ома для участка цепи:Сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.

Формула (9.3.1.) позволяет установить единицу сопротивления - ом(Ом): 1 Ом - сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А.

Величина называется электрической проводимостьюпроводника.

Единица измерения проводимости - сименс(См): 1 См - проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом.

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

, (9.3.2.)

где - коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением.Единица удельного электрического сопротивления - .

Опыт показывает, что удельное сопротивление металла, а следовательно, и сопротивление проводника изменяется с температурой по линейному закону (в достаточно широком температурном диапазоне):

где и , R и - соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при температуре t и С, - температурный коэффициент сопротивления,для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 К .

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления (9.3.2.) в закон Ома (9.3.1.), получим

, (9.3.3.)

где величина

,

обратная удельному сопротивлению, называется удельной электрической проводимостьювещества проводника. Ее единица измерения - (См/м). Учитывая, что - напряженность электрического поля в проводнике, - плотность тока, формулу (9.3.3.) можно записать в виде

. (9.3.4.)

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора , то направления и совпадают. Поэтому формулу (9.3.4.) можно записать в виде

. (9.3.5.)

Выражение (9.3.5.) - закон Ома в дифференциальной форме,связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

Рассмотрим однородный проводник, разность потенциалов между концами которого равна U. За время dt через сечение проводника переносится заряд dq=Idt. Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электрического поля, то работа тока

. (9.3.6.)

Если сопротивление проводника R, то, используя закон Ома (9.3.1.), получим

. (9.3.7.)

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,

. (9.3.8.)

Таким образом, используя выражения (9.3.7.) и (9.3.8.), получим

. (9.3.9.)

Выражение (9.3.9.) представляет собой закон Джоуля-Ленца,экспериментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. Ленцем.

Закон Джоуля-Ленца:Количество теплоты, выделяющееся в однородном неподвижном проводнике при протекании постоянного тока, прямо пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени протекания тока.

Из (9.3.7.) и (9.3.9.) следует, что мощность тока

. (9.3.10.)

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем (ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которого . По закону Джоуля-Ленца, за время dt в этом объеме выделится теплота

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна:

(9.3.11)

Используя дифференциальную форму закона Ома (9.3.5) и соотношение , получим:

(9.3.12)

Формула (9.3.12) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Рассмотрим неоднородный участок цепи,где действующую ЭДС на участке 1-2 обозначим через , а приложенную на концах участка разность потенциалов через . Внутреннее сопротивление источника обозначим – r, внешнее сопротивление – R.

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1-2, то работа всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заряда на участке 1-2, согласно (9.2.4.),

. (9.3.13.)

ЭДС , как и сила тока I, - величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если ЭДС способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1-2), то >0. Если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то <0.

За время t в рассматриваемом участке выделяется количество теплоты:

. (9.3.14.)

Из формул (9.3.13.) и (9.3.14.) получим:

, (9.3.15.)

откуда

. (9.3.16.)

Выражение (9.3.16.) представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме,который является обобщенным законом Ома.

Если электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 совпадают, = ; тогда из (9.3.16.) получаем закон Ома для замкнутой цепи:

I= ,

где - ЭДС, действующая в цепи, (R+r) - суммарное сопротивление всей цепи.

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I=0), то из закона Ома (9.3.16.) получим, что , т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того чтобы найти ЭДС источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи.

9.4. Правила Кирхгофа. Расчет разветвленных цепей.

Обобщенный закон Ома позволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т.д.), довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа.

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, - отрицательным.

Например, для узла, изображенного на рис.9.1, первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис.9.2).

Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода – отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам обобщенный закон Ома, можно записать:

Складывая эти уравнения, получим

(9.4.1.)

Уравнение (9.4.1.) выражаетвторое правило Кирхгофа.

Второе правило Кирхгофа: В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС , встречающихся в этом контуре:

(9.4.2.)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение IR положительно, если выбранное направление тока на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против – отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.