Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов, созданной немецким физиком П. Друде и разработанной впоследствии нидерландским физиком Х. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Первый из таких опытов - опыт Рикке (1901), в котором в течение года электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндров (Cu, Al, Cu) одинакового радиуса. Несмотря на то, что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения ( Кл), никаких, даже микроскопических, следов переноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательством того, что ионы в металлах не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытие в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном электроны.

Для доказательства этого предположения необходимо было определить знак и величину удельного заряда носителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов заключалась в следующем: если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удельный заряд носителей. Эти опыты в 1916 г. были проведены американским физиком Р. Толменом и шотландским физиком Б. Стюартом. Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах заряжены отрицательно, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех исследованных металлов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее элементарному электрическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока в металлах и электронов, движущихся в вакууме, совпадали. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся "свободными" и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.

Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде-Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа.

Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т.е. возникает электрический ток.

Даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обуславливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость можно заменять скоростью теплового движения <u>.

1. Закон Ома.Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью Е=const. Со стороны поля заряд e испытывает действие силы F=eE и приобретает ускорение . Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

,

где <t> - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

. (9.5.1.)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время <t> свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега < > и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной <u>+<v> (<u> - средняя скорость теплового движения электронов). Так как <v> << <u>,

.

Подставив значение <t> в формулу (9.5.1.), получим

.

Плотность тока в металлическом проводнике

Е,

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т.е. получили закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности между j и Е есть не что иное, как удельная проводимость материала

, (9.5.2.)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

Закон Джоуля - Ленца.

К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

. (9.5.3.)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т.е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем <z> столкновений:

. (9.5.4.)

Если n - концентрация электронов, то в единицу времени происходит n<z> столкновений и решетке передается энергия

, (9.5.5.)

которая идет на нагревание проводника. Подставив (9.5.3.) и (9.5.4.) в (9.5.5.), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

. (9.5.6.)

Величина w называется удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между w и по (9.5.2.) есть удельная проводимость ; следовательно, выражение (9.5.6.) - закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

Классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля - Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана - Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Видемана - Франца столкнулась еще с рядом трудностей при объяснении различных опытных данных. Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопротивления.Из формулы удельной проводимости (9.5.2.) следует, что сопротивление металлов, т.е. величина, обратно пропорциональная , должна возрастать пропорционально (в (9.5.2.) n и < > от температуры не зависят, а <u>~ ). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R~T.

Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах.Чтобы по формуле (9.5.2.) получить , совпадающие с опытными значениями, надо принимать < > значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде-Лоренца.

Теплоемкость металлов.Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т.е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Согласно закону Дюлонга и Пти, теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна . Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т.е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электронной теорией.

Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла - Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной теории электропроводности металлов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качественные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и наглядной.