Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33)

Д.у. первого порядка вида называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если

Это отношение является необходимым и достаточным условием, чтобы д.у. было д.у. в полных дифференциалах, т.е. - общий интеграл.

Действительно:

1) Необходимость: докажем, что если , то , так как , то и Отсюда находим и

Но , если они непрерывны в данной точке

2) Достаточность: Пусть

Докажем, что существует такая, что Отсюда следует и . Проинтегрируем любое из этих уравнении по x или по y соответственно, например первое.

Итак

Отсюда находим

Отсюда

Из (*) и (**) следует

Общий интеграл исходного д.у. есть и следовательно

Замечание:из доказательства пункта 2 следует метод решения уравнений в полных дифференциалах, т.е. из условий ищется

Если д.у. не является д.у. в полных дифференциалах, т.е. , то существует такой множитель , который называется интегрируемым множителем, что д.у. будет д.у в полных дифференциалах, т.е. (3) Это уравнение является д.у. частных производных для нахождения функции . В двух частных случаях уравнение легко решится:

1) Из уравнения (3) находим

(4)

Если это так, то находится из (4):

2) Из уравнения (3) находим

(5)

Если это так, то находится из (5):

Замечание:д.у. в полных дифференциалах может быть как д.у. с разделяющимися переменными, однородным или линейным. Следовательно, перед тем как проверять условие необходимо убедиться, что оно не является д.у. с разделяющимися переменными, однородным, линейным или уравнением Бернулли. (смотрите последний пример)

д.у. с разд. переменными и однородным.

- однородное.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

где p>0, q>0. Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила

1) p¹0 и . Общее решение однородного уравнения имеет вид: где . Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: т.к. находим и . Подставляем в неоднородное дифференциальное уравнение

; ; ; ;

; ; ;

где ; ; ; ;

; ;

где тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения примет вид: где .

При т.е. по истечении достаточно большого промежутка времени, система ведёт себя по закону вынуждающей силы. Колебания происходят с частотой вынуждающей силы. ; ;

Имеет место минимум при: ;

где и Þ ; ; при этой частоте в системе возникает резонанс, т.е. будет максимальна. при p=0 и w=w₀, А^*® ¥ это явление называется резонансом.

2) Пусть p=0, , ,

а) т.е. ; ; ; ; Находим: Отсюда находим: откуда M=0 т.к. , а ; ; ; Þ y – есть сумма двух гармонических колебаний с частотой w₀ и w

б) ; где ; ;

При w=w₀ отсюда N=0, ; ; при t®¥ и y®¥ т.е. резонанс при w=w₀ и p=0