Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман
Первообразная функция Функция F(х)называется первообразной функцией для функции f(х) на некотором интервале (а,b), если F/(х)= f(х), или что тоже самоеdF=f(x) dx Теорема. Если функция F(х) является первообразной функцией для функции f(х), то F(х)+С также является первообразной для f(х), где С-произвольная постоянная величина.Это следует из того, что (F(х)+С)/= F/(х)= f(х).Убедимся, что любые две первообразные F(x) и F(x) функции f(x) различаются на постоянное слагаемое. Имеем: Тогда разность что и требовалось. Это выражение F(х)+С называется неопределенным интегралом от функции f(х), и обозначается символом . Итак, по определению . Свойства неопределенного интеграла 1) символы d и взаимно сокращаются 2) Ибо есть первообразная для 3) 4)
Интегрирование по частям Метод интегрирования по частям основан на известном дифференциальном равенстве где u и v –функции от аргумента x Тогда откуда . Это и есть формула интегрирования по частям.Замена переменной в неопределенном интеграле Предположим, что нам известен неопределенный интеграл . Тогда будем иметь: , где w(x) – произвольная дифференцируемая функция от аргумента x.
Понятие о «не берущихся» интегралах. Существуют «берущиеся» и «не берущиеся» интегралы. Неопределенные интегралы вида , , , , , , , (p, k - некоторые постоянные величины), и некоторые другие не выражаются в виде конечной комбинации элементарных функций - они «не берущиеся».
4 Интегрирование дробно-рациональных выражений. от дробно-рациональных функций вида . С этой целью прежде, чем говорить об , рассмотрим элементарные (в смысле интегрирования) простые дроби (дробные выражения) 1. 2. 3. 4. где А, a, b, р, q- вещественные числа, причем - трехчлен, не имеющий действительных корней, т.е. ; 3. Еще прием для интегрирования таких дробных выражений: ; ; Тогда Деление в ,,уголок’’ Разложение правильных дробей Рm(х)/Qn(x) на простые. Правильная дробь – это дробь вида Рm(х)/Qn(x) , n > m. Если , то делением « в уголок» можно представить в виде где Rk (x) – многочлен, а . Пусть Рm(x)/Qn(x)- правильная дробь. Разложим знаменатель на множители: Qn ( причем k1+k2+…..+2m1+…+2ms=n) Берем многочлен ; тогда где A - постоянная, подлежащая определению, А=Соnst. Тогда ; однозначно находим A, поскольку . Повторяя процедуру, находим далее повторяем процедуру относительно корня b, тогда и т. д.Так можно перебрать все действительные корни.
7 Упрощение вида Пусть Покажем, что равенство Pm (x) – (Ax+B)Qn-2r(x) = Pm-2(x)(x2+px+q) возможно. Для этого A и B определяем так, чтобы левая часть делилась на x2+px+q. Обозначим остаток от деления Рm(x) на x2+px+q чрез Мx+N, а Qn-2r(x) на x2+px+q – через Zx+K. Тогда задача сводится к подбору А и В, чтобы делилось нацело на x2+px+q. -АZx2+(M-ZB+Ak) x+N - BK= - AZ(x2+ ) пропорционально x2+px+q. Делим и здесь, определяем остаток и требуем, чтобы и этот остаток обратился в нуль. Получаем: 2 уравнения с двумя неизвестными A и B = ? остальные величины в этой системе известные. Можно видеть, что эта система уравнений разрешима относительно A и B. прежде чем интегрировать правильную дробь Pm(x)/Qn(x), ее надо представить в виде комбинации элементарных в смысле интегрирования дробей вида: Коэффициенты A,…,С, D, …,М и т.д. удобно находить, решая систему алгебраических уравнений.
10 Интегрирование ; ; dx// рационально через dt Несколько более общий случай: , где М – общий знаменатель 8 Дать общий вид разложения правильного дробнорационального выр-я на сумму…. Пусть многочлен, стоящий в знаменателе, удалось разложить на множители: . Тогда интеграл можно существенно упростить за счет следующих общих выкладок. Берем интеграл от каждого слагаемого. Так, имеем: = Рациональные части от всех слагаемых объединяем. Получаем в итоге равенство Здесь многочлены Q1(x) и Q2(x) таковы:
Оставшийся интеграл достаточно простой. При нахождении коэффициентов многочленов исходим из последовательности равенств: 1) 2) 3)
9 Интегрирование рациональных функций от sinx, cosx. Рассмотрим неопределенный интеграл где R( , ) – рациональная функция от sin x и cos x. Этот интеграл может быть в общем случае сведен к интегралу от рациональной функции, для чего надо подставить . Имеем х=2arctgt Частные случаи 1. если или , то можно не применять универсальную подстановку. Пусть, например, m- нечетное а) б) 2. и . Тогда понижаем порядок вдвое, приходим к интегралу вида .После возведения в степени p и q и перемножения, снова имеем интегралы вида Пример = Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман Требуется определить площадь криволинейной трапеции АВСД, ограниченной сверху кривой y = f(х), слева и справа прямыми х=а и х=b и снизу прямой у = 0 (осью х). Сначала рассмотрим приближенное решение этой задачи. Разобьем [а,b] точками х0=а, х1, х2,…,хn-1, хn=b; хj-хj-1=Δ хj-1. Проведем ординаты (вычислим) f(х0), f(х1), …, f(хn-1), f(хn). Вычислим суммарную площадь прямоугольников высоты f(х0)…, f(хn-1) Имеем Величину σ можно рассматривать в качестве приближенного значения площади. Сумма Σ f(хj) Δхj является примером интегральной суммы. Разбиение отрезка [а,b] можно характеризовать в данном случае максимальным значением Δхj, которое обозначим λ: λ=max(Δxj) j=0,1,...,n-1 λ- параметр разбиения. Ему соответствует сумма площадей σ. Возьмем более «мелкое» разбиение с параметром λ', λ'<λ . Ему соответствует сумма площадей прямоугольников: Измельчая разбиения и устремления параметра λ к нулю, получим последовательность интегральных сумм σ, σ', σ",… Если эта последовательность имеет предел при λ→0, равный S, что можно записать так то этот предел принимают (по определению) за площадь криволинейной трапеции АВСД.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (306)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |