при межлабораторных испытаниях. Практическая работа № 3

Практическая работа № 3

Использование статистических критериев

При межлабораторных испытаниях

Выполнил: ст. гр.

ЗСМ-111 Ларионов С.С.

Проверил: Шендалева Е. В.

 

 

Омск – 2015

Практическая работа № 3

Использование статистических критериев

при межлабораторных испытаниях

 

Цель работы

Изучение стандартных методов расчета пределов повторяемости и воспроизводимости, полученных при реализации стандартного метода измерений и обеспечение способов проверки приемлемости результатов измерений, полученных в условиях повторяемости и воспроизводимости.

Исходные данные

Исходные данные представлены в табл. 2.1.

Задание

1. Сопоставить в условиях повторяемости:

– две группы измерений в одной лаборатории, считая данные строк 1 – 20 лаборатории 1 (табл. 2.1) результатом первой группы измерений, а данные строк 21 – 40 лаборатории 1 – результатом второй группы измерений;

– две группы измерений в двух лабораториях, считая результатами измерений данные строк 1 – 40 лаборатории 1 и данные строк 1 – 20 лаборатории 2 (табл. 2.1);

– группу измерений в каждой из двух лабораторий (строки 1 – 40 лаборатории 1 и строки 1 – 20 лаборатории 2) (табл. 2.1) с опорным значением μ₀ в отсутствие конкретных данных по лабораторной составляющей систематической погрешности;

– две группы измерений в первой и второй лабораториях (строки 1 – 40 лаборатории 1 и строки 1 – 20 лаборатории 2) (табл. 2.1) с опорным значением μ₀.

2. Выполнить проверку приемлемости результатов измерений и установления окончательного результата:

– двух измерений в каждой из трех лабораторий (строки 1 – 2);

– десяти измерений в каждой из трех лабораторий (строки 1 – 10).

3. Выполнить проверку результатов измерений в условиях повторяемости и воспроизводимости:

– для одного измерения в каждой лаборатории;

– для серии измерений в каждой лаборатории.

4. Сделать выводы по результатам проведенных расчетов.

 

Таблица 2.1

Исходные данные

№	Лаборатория 1	Лаборатория 2	Лаборатория 3
	9,75	9,75	9,75
	9,70	9,71	9,71
	9,85	9,81	9,85
	9,85	9,85	9,85
	9,80	9,81	9,80
	9,75	9,75	9,75
	9,86	9,81	9,89
	9,84	9,84	9,84
	9,76	9,76	9,76
	9,73	9,73	9,73
	9,71	9,71	9,71
	9,70	9,70	9,70
	9,80	9,72	9,80
	9,70	9,70	9,70
	9,80	9,73	9,80
	9,72	9,72	9,72
	9,78	9,78	9,76
	9,75	9,72	9,75
	9,85	9,72	9,85
	9,85	9,72	9,75
	9,75	9,72	9,75
	9,65	9,72	9,65
	9,75	9,72	9,75
	9,75	9,75	9,75
	9,75	9,70	9,75
	9,77	9,85	9,77
	9,79	9,85	9,79
	9,70	9,80	9,70
	9,72	9,75	9,72
	9,74	9,79	9,74
	9,75	9,74	9,75
	9,72	9,76	9,72
	9,73	9,73	9,73
	9,74	9,71	9,74
	9,71	9,70	9,71
	9,73	9,72	9,73
	9,74	9,70	9,74
	9,75	9,70	9,75
	9,76	9,72	9,76
	9,78	9,78	9,78

Выполнение задания

1. Сопоставление на основании произвольного количества значений

Две группы измерений в одной лаборатории

Стандартное отклонение разности двух групп измерений в одной лаборатории в условиях повторяемости

, (2.1)

где – дисперсия повторяемости;

n₁ = n₂ = 20 – количество измерений в каждой группе.

Средние арифметические значения в группах измерений в первой лаборатории

;

.

Разность двух групп измерений в одной лаборатории

.

Внутрилабораторные дисперсии в первой лаборатории

;

.

Дисперсия повторяемости в первой лаборатории

; .

Стандартное отклонение разности двух групп измерений

.

Критическая разность для на уровне вероятности 95%

. (2.2)

,

то есть две группы измерений в одной лаборатории не согласованы.

Две группы измерений в двух лабораториях

В первой лаборатории количество измерений n₁ = 40, во второй n₂ = 20.

Средние арифметические значения в группах измерений

;

.

Разность двух групп измерений в разных лабораториях

.

Стандартное отклонение разности в условиях повторяемости

, (2.3)

, (2.4)

, (2.5)

, (2.6)

; (2.7)

. (2.8)

;

;

;

.

Среднее значение результатов измерений в лаборатории 1 =

9,758

, в лаборатории 2 =

9,752

, в двух лабораториях

.

.

Стандартное отклонение разности двух групп измерений в разных лабораториях

.

Критическая разность для на уровне вероятности 95%

, (2.9)

где – дисперсия воспроизводимости, .

= 0,002409 +(-0,000071)= 0,002338;

> 0,00625.

Полученный результат дает основание говорить о согласованности результатов измерений двух лабораторий.

Группа измерений в одной лаборатории и опорное значение

Стандартное отклонение разности для каждой лаборатории, где μ₀ = 9,77 – принятое опорное значение

. (2.10)

Для первой лаборатории n₁ = 40; не определено

Для второй лаборатории n₂=20;

Разность группы измерений и опорного значения в первой лаборатории ; разность группы измерений и опорного значения во второй лаборатории .

Критическая разность для одной лаборатории

, (2.11)

для первой лаборатории

не определено ;

для второй лаборатории

.

Полученные результаты дают основание говорить о не согласованности результатов измерений каждой из двух лабораторий с опорным значением.

Группы измерений в двух лабораториях и опорное значение

Разность двух групп измерений и опорного значения

.

Стандартное отклонение разности для нескольких лабораторий

. (2.12)

Стандартное отклонение разности для двух лабораторий

, (2.13)

.

Критическая разность для двух лабораторий

.

Полученный результат дает основание говорить о не согласованности результатов измерений двух лабораторий с опорным значением.

Таким образом, при проведении сопоставления:

а) двух групп измерений в одной лаборатории

CD_0,95 = 0,029005, = 0,0385;

б) двух групп измерений в разных лабораториях

CD_0,95 = 0,012377, = 0,00625;

в) группы измерения в одной лаборатории с опорным значением

CD_0,95 = не опред., ; CD_0,95 = 0,013951, ;

г) двух групп измерений в разных лабораториях с опорным значением

CD_0,95 = 0,006189, = 0,014.

Можно сделать вывод, что почти во всех экспериментах абсолютное расхождение превышает соответствующий предел что должно рассматриваться как подозрительное и подлежащее дополнительному изучению.

2. Проверка приемлемости результатов измерений и установления окончательного результата

Для двух измерений в каждой лаборатории дисперсии повторяемости

; ; ;

Стандартные отклонения повторяемости:

σ_1r = 0,035355; σ_2r = 0,028284; σ_3r = 0,028284.

Абсолютные расхождения

x_1max – x_1min = 0,0500; x_2max – x_2min = 0,0400; x_3max – x_3min = 0,0400.

В условиях повторяемости критическую разность и стандартное отклонение повторяемости связывает табулированная функция f(n) (табл. 2.2)

CD_0,95 = r = f(n) σ_r. (2.13)

Для n = 2 критическая разность CD_0,95 = 2,8σ_r, в этом случае пределы повторяемости для каждой лаборатории:

r₁ = 2,8×0,35355 = 0,098995; r₂ = 0,079196; r₃ = 0,079196

.

Проверка приемлемости результатов выполняется в виде последовательности этапов сравнения абсолютных расхождений результатов измерений с критическими разностями.

Таблица 2.2

Коэффициенты критического диапазона f(n)

n	f(n)	n	f(n)	n	f(n)
	2,8		4,9		5,4
	3,3		5,0		5,4
	3,6		5,0		5,4
	3,9		5,0		5,4
	4,0		5,1		5,5
	4,2		5,1		5,5
	4,3		5,1		5,5
	4,4		5,2		5,6
	4,5		5,2		5,6
	4,6		5,2		5,8
	4,6		5,3		5,9
	4,7		5,3		5,9
	4,7		5,3		6,0
	4,8		5,3		6,1
	4,8		5,3
	4,9		5,4

На рис. 2.1 изображен алгоритм определения результата измерения в случае, если измерения не являются дорогостоящими.

Рис. 2.1. Алгоритм определения результата измерений, не являющихся дорогостоящими

На первом этапе сравнивают абсолютные расхождения с критическими разностями и определяют итоговый результат по двум измерениям.

x_1max – x_1min £ r₁, 0,05 £ 0,098995; x_2max – x_2min £ r₂, 0,04 £ 0,079196;

x_3max – x_3min £ r₃, 0,04 £ 0,079196.

= (9,75+907)/2 = 9,725; = (9,75+9,71)/2 = 9,73; = (9,75+9,71)/2 = 9,73.

В случае невыполнения условий сравнения на втором этапе проводят еще два измерения в каждой лаборатории, при этом стандартные отклонения повторяемости: σ_1r = 0,075; σ_2r = 0,062183; σ_3r = 0,071181.

Абсолютные расхождения:

x_1max – x_1min = 0,15; x_2max – x_2min = 0,14; x_3max – x_3min = 0,14.

Для n = 4 критическая разность CD_0,95 = 3,6σ_r, пределы повторяемости:

r₁ = 0,27; r₂ = 0,223857; r₃ = 0,256250.

Сравнение абсолютных расхождений с критическими разностями

x_1max – x_1min £ r₁, 0,15 £ 0,27; x_2max – x_2min £ r₂, 0,14 £ 0,223857;

x_3max – x_3min £ r₃, 0,14 £ 0,256250.

Итоговый результат по четырем измерениям

; ;

.

В случае невыполнения условий сравнения на третьем этапе из четырех результатов измерения выбирают второй и третий наименьшие результаты и рассчитывают их среднее арифметическое. Полученные результаты будут считаться окончательными.

; ; .

Так как на первом этапе для всех лабораторий x_max – x_min ≤ CD_0,95, то в этом случае окончательнным результатом будет x₁ = 9,725; x₂ = 9,73; x₃ = 9,73.

На рис. 2.2 изображен алгоритм определения результата измерения в случае, если измерения являются дорогостоящими.

В этом случае первый этап аналогичен первому этапу предыдущего алгоритма. При невыполнении условий сравнения на втором этапе проводят еще одно измерение в каждой лаборатории, при этом стандартные отклонения повторяемости: σ_1r = 0,076376; σ_2r = 0,050332; σ_3r = 0,072111.

Абсолютные расхождения:

x_1max – x_1min = 0,15; x_2max – x_2min = 0,1; x_3max – x_3min = 0,14.

Для n = 3 критическая разность CD_0,95 = 3,3σ_r, при этом пределы повторяемости: r₁ = 0,252042; r₂ = 0,166096; r₃ = 0,237966.

Рис. 2.2. Алгоритм определения результата измерений, являющихся дорогостоящими

Сравнение абсолютных расхождений с критическими разностями

x_1max – x_1min £ r₁, 0,15 £ 0,25042; x_2max – x_2min £ r₂, 0,1 £ 0,166096;

x_3max – x_3min £ r₃, 0,14 £ 0,237966.

Итоговый результат по трем измерениям

; ;

.

В случае невыполнения условий сравнения на третьем этапе в каждой лаборатории из трех результатов измерения выбирают второй наименьший результат. Полученные результаты будут считаться окончательными:

; ; .

Так как на первом этапе для всех лабораторий x_max – x_min ≤ CD_0,95, то для первоначальных двух измерений окончательнным результатом будет x₁ = 9,725; x₂ = 9,73; x₃ = 9,73.

На рис. 2.3 изображен алгоритм определения результата измерения для случая с более, чем двумя первоначальными измерениями.

Выбираем n = 10 значений в качестве групп первоначальных измерений в каждой из трех лабораторий (табл. 2.1).

Стандартные отклонения повторяемости:

σ_1r = 0,058205; σ_2r = 0,048028; σ_3r = 0,061292.

Абсолютные расхождения:

x_1max – x_1min = 0,16; x_2max – x_2min = 0,14; x_3max – x_3min = 0,18.

Рис. 2.3. Алгоритм определения результата измерения для случая

с более, чем двумя первоначальными измерениями

Пределы повторяемости r = 4,5σ_r:

r₁ = 0,261921; r₂ = 0,216125; r₃ = 0,275812.

Сравнение абсолютных расхождений с критическими разностями

x_1max – x_1min £ r₁, 0,16 £ 0,261921; x_2max – x_2min £ r₂, 0,14£ 0,216125;

x_3max – x_3min £ r₃, 0,18£ 0,275812.

Итоговый результат по десяти измерениям определяется в виде средних арифметических значений

= 9,789; = 9,782; = 9,793.

В данном случае абсолютные расхождения не превышают соответствующих пределов во всех лабораториях, поэтому окончательными результатами будут x₁ = 9,789; x₂ = 9,782; x₃ = 9,793.

В случае, если такое превышение существует, необходимо выбрать количество измерений в два раза больше первоначального.

Выбираем 2n = 20 значений в качестве вторичных измерений по трем лабораториям (табл. 2.1).

Стандартные отклонения повторяемости:

σ_1r = 0,058027; σ_2r = 0,047749; σ_3r = 0,057972.

Абсолютные расхождения:

x_1max – x_1min = 0,16; x_2max – x_2min = 0,15; x_3max – x_3min = 0,19.

Пределы повторяемости r = 5,0σ_r:

r₁ = 0,290134; r₂ = 0,238747; r₃ = 0,289862.

Сравнение абсолютных расхождений с критическими разностями

x_1max – x_1min £ r₁, 0,16 £ 0,290134; x_2max – x_2min £ r₂, 0,15 £ 0,238747;

x_3max – x_3min £ r₃, 0,19 £ 0,289862.

Итоговый результат по двадцати измерениям определяется в виде средних арифметических значений

= 7,7395; = 7,6765; = 7,7200.

В данном случае абсолютные расхождения не превышают соответствующих пределов во всех лабораториях. Поэтому окончательными результатами будут x₁ = 7,7395; x₂ = 7,6765; x₃ = 7,72.

В случае, если соответствующие пределы будут превышены, то в качестве окончательного результата выбираются медианы:

= 7,735; = 7,655; = 7,72.

Так как на первом этапе для всех лабораторий x_max – x_min ≤ CD_0,95, то для первоначальных десяти измерений окончательнным результатом будет x₁ = 9,789; x₂ = 9,782; x₃ = 9,793.

3. Методы проверки результатов измерений, полученных как в условиях повторяемости, так и воспроизводимости

В случае существенного различия измерений двух лабораторий, когда существует определенное различие в самих результатах или в их средних арифметических значениях статистическая проверка основывается на стандартном отклонении не только повторяемости, но и воспроизводимости.

При получении только одного результата измерений в каждой лаборатории расхождение между результатами измерений не должно превышать предел воспроизводимости.

При n = 1 результаты измерений: x₁ = 9,75; x₂ = 9,75; x₃ = 9,75.

Среднее арифметическое значение = (9,75 + 9,75 + 9,75)/3 = 9,75.

Дисперсия воспроизводимости (повторяемости)

.

Стандартное отклонение воспроизводимости σ_R = 0.

Абсолютные расхождения результатов измерений:

|x₁ – x₂| = 0; |x₁ – x₃| = 0;|x₂ – x₃| = 0

Предел воспроизводимости

R = 2,8 σ_R = 2,8×0 = 0.

Абсолютные расхождения во всех лабораториях не превышают предела воспроизводимости, то есть результаты измерений в трех лабораториях согласованы, окончательным результатом можно считать x = 9,75.

Серия измерений в трех лабораториях n = 40

Предполагается, что каждая лаборатория получила свой окончательный результат и необходимо лишь рассмотреть приемлемость, то есть совместимость окончательных результатов лабораторий.

Внутрилабораторные дисперсии: = 0,002471; = 0,002180; = 0,002393.

Дисперсия повторяемости

= 0,002348; σ_r = 0,048459.

Разности значений: x_1max – x_1min = 0,21; x_2max – x_2min = 0,15;

x_3max – x_3min = 0,24.

Межлабораторная дисперсия

, где .

; ; ; .

Абсолютные расхождения результатов измерений:

; ; .

.

.

Дисперсия воспроизводимости = 0,002348 + (-0,000034) = 0,002315;

σ_R = 0,048111.

Пределы повторяемости и воспроизводимости:

r = 5,5σ_r = 5,5×0,048459= 0,266527; R = 5,5σ_R = 5,5×0,048111 = 0,264612.

Критическая разность CD_0,95 равна

. (2.14)

.

Критическая разность больше абсолютных расхождений групп измерений: 0,040580 > 0,0095; 0,040580 > 0,002; 0,040580 > 0,0075.

В этом случае можно утверждать, что окончательные результаты согласованы и окончательным результатом можно считать среднее арифметическое значение окончательных результатов измерения в каждой лаборатории x =9,750.

Критическая разность CD_0,95для среднего арифметического значения n₁ = 20 и медианы n₂ = 10 результатов измерений в двух лабораториях

, (2.15)

где c(n) – отношение стандартного отклонения медианы к стандартному отклонению среднего арифметического значения. Его значения приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Отношение стандартного отклонения медианы

к стандартному отклонению среднего арифметического значения

n	c(n)	n	c(n)	n	c(n)
	1,000		1,160		1,235
	1,000		1,223		1,202
	1,160		1,176		1,237
	1,092		1,228		1,207
	1,197		1,187		1,239
	1,135		1,232		1,212
	1,214		1,196

Средние арифметические значения результатов измерений в первой лаборатории составляет 9,7775, во второй – 9,75; медиана результатов измерений во второй лаборатории составляет 9,75. Разность между средним арифметическим значением в первой лаборатории и значением медианы во второй лаборатории составляет 0,0075.

Внутрилабораторные дисперсии s_w1 = 0,003367; s_w2 = 0,002307, дисперсия повтряемости

.

Среднее значение количества измерений в двух лабораториях

;

среднее значение результатов измерения по двум лабораториям

.

;

; .

Пределы повторяемости и воспроизводимости для

r = 4,7σ_r = 4,7×0,055011 = 0,258553; R = 4,7σ_R = 4,7×0,053003 =0,249116.

Критическая разность

.

Критическая разность больше абсолютного расхождения среднего арифметического значения результатов измерений в первой лаборатории и значения медианы результатов измерений во второй лаборатории, то есть результаты измерений в двух лабораториях согласованы.

Оценка согласованности по медианам измерений в двух лабораториях

Критическая разность CD_0,95 для двух медиан n₁ = 20 и n₂ = 10 результатов измерений равна

. (2.16)

Медиана измерений в первой лаборатории составляет 9,77, медиана измерений во второй лаборатории составляет 9,785, абсолютное расхождение между ними (-0,015).

,

то есть критическая разность больше абсолютного расхождения результатов измерений двух лабораторий и их окончательные результаты согласованы.

Если критическая разность не превышена, то приемлемы оба окончательных результата измерений, приводимых лабораториями, и в качестве окончательного результата может быть использовано их общее среднее значение.

Если критическая разность превышена, необходимо обеспечить прецизионность измерений в каждой (в обеих) лабораториях [3].