Сравнение средних генеральных совокупностей

Пусть имеются две генеральные совокупности СВ Х и СВ Y объемами N и М соответственно. Предположим, что известны генеральные дисперсии и .

Сформулируем нулевую гипотезу Н₀: генеральные средние совокупностей Х и Y равны, т.е. = .

В качестве конкурирующей гипотезы можно выбрать одну из трех возможных гипотез:

а) Н₁: > ,

б) Н₁: < ,

в) Н₁: ¹ .

При достаточно больших объемах выборочные совокупности, составленные из совокупностей Х и Y, в силу закона больших чисел имеют приближенно нормальный закон распределения с параметрами , и , соответственно. Пусть объемы выборок n и m соответственно. Несложно показать, что в случае справедливости гипотезы Н₀ статистика

имеет стандартное нормальное распределение (а = 0, s² = 1)*. Эту статистику можно взять в качестве критерия.

Для альтернативных гипотез Н₁ (а) и (б) критическая область строится из условия

Ф(t_кр) = Ф(t_{1 - 2a}) = 1 - 2a.

Для альтернативной гипотезы Н₁ (в) выполнится условие

Ф(t_кр) = 1 - a.

Если модуль экспериментального значения критерия |t_Э| больше t_кр, то гипотезу Н₀ следует отвергнуть, если |t_Э| < t_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

П р и м е р .1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 100 и m = 80 соответственно, найдены выборочные средние = 125,
= 127. Известно, что данные выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей с дисперсиями = 200 и = 160. При уровне значимости a = 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: = , при конкурирующей Н₁: ¹ .

Решение. Найдем экспериментальное значение критерия

.

Границу критической области найдем из соотношения

Ф(t_кр) = 1 - a = 0,95.

Используя таблицу II приложений, получим t_кр = 1,96. Поскольку |t_Э| < t_кр,
(1 £ 1,96), то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀ и можно считать, что генеральные средние изучаемых совокупностей равны.

Изложенный критерий сравнения генеральных средних применим для достаточно больших (n, m ³ 100) выборок и в случае, когда дисперсии неизвестны и вместо них можно взять выборочные дисперсии и .

В случае выборок малого объема нельзя получить хорошей оценки генеральной дисперсии по выборочной дисперсии. В данном случае используется статистика

,

где исправленное среднее квадратическое отклонение, рассчитанное по объединенной (смешанной) совокупности объемом n₁ = n + m.

Доказано, что статистика t имеет t-распределение Стьюдента. Однако, в общем случае число степеней свободы определяется приближенно достаточно сложным образом. Подсчет степеней свободы значительно упрощается, если известно, что генеральные дисперсии равны между собой. В этом случае статистика

имеет t-распределение с k = n + m – 2 степенями свободы.

Само правило проверки гипотезы Н₀ в остальном остается таким же, как и для выборок большого объема.

На практике, естественно, достаточно редко известно о равенстве генеральных дисперсий. Поэтому для эффективного применения предложенной статистической проверки справедливости гипотезы Н₀: = для малых выборок необходимо уметь сравнивать дисперсии двух или более генеральных совокупностей. Надо заметить, что поставленная задача имеет большое прикладное значение и в отрыве от задачи сравнения двух генеральных средних.

Рассмотрим две генеральные совокупности Х и Y, имеющие нормальное распределение. По независимым выборкам объемами n и m соответственно вычислены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном значении a проверить гипотезу Н₀: s²(Х) = s²(Y) или М( ) = М( ).

Предположим, что ³ . В качестве статистики рассмотрим СВ

.

В случае справедливости гипотезы Н₀ величина F имеет распределение Фишера – Снедекора со степенями свободы k₁ = n – 1 и k₁ = m – 1 (см. приложение V).

В качестве альтернативных гипотез можно выбрать следующие:

а) Н₁: s²(Х) > s²(Y);

б) Н₁: s²(Х) ¹ s²(Y).

В случае а) гипотеза Н₀ отвергается, если F_Э > . В случае б) границы двусторонней критической области определяются значениями и .

Заметим, что для распределения Фишера – Снедекора справедливо равенство

.

Гипотеза Н₀ отвергается, если F_Э < или F_Э > .

П р и м е р 2. Произведены две выборки урожая ржи, чтобы выяснить влияние новой технологии на урожайность. Одна выборка была произведена на 7 участках, где применялась новая технология. При этом средняя урожайность составила = 18 ц/га, а дисперсия = 16,2. Для выборки, произведенной на 8 участках, на которых новая технология не применялась, соответствующие показатели составили = 15,1 ц/га, = 8,1. На уровне значимости 0,05 выяснить влияние новой технологии на среднее значение урожайности.

Решение. Сформулируем гипотезу Н₀: новая технология не влияет на урожайность, т.е. = . В качестве альтернативной выдвинем гипотезу Н₁: > .

В данном случае объемы выборок составляют n = 7 и m = 8. Следовательно, в качестве критерия для проверки гипотезы выберем СВ

Для вычисления числа степеней свободы k проверим следующую гипотезу : = , против альтернативной гипотезы : > .

Используем в качестве критерия СВ

,

которая в случае справедливости гипотезы имеет распределение Фишера– Снедекора. Найдем экспериментальное значение критерия

.

По таблице V приложений найдем = F_{0,05; 7; 6} = 3,87. Поскольку
2 < 4,21, т.е. F_Э < , то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀ и можно считать, что в данном опыте дисперсии выборок одинаковы.

В этом случае число степеней свободы для СВ t, которая в случае справедливости гипотезы Н₀ имеет распределение Стьюдента, находится по формуле k = n + m – 2 = 13.

Найдем наблюдаемое значение критерия t

.

По таблице IV приложений найдем значение t_{0,9; 13} = 1,77 (значение g = 0,9 нашли по формуле g = 1 – 2a).

Так как t_Э < t_{0,9; 13}, то можно считать, что = , т.е. новая технология не влияет на среднюю урожайность.