Доказательство окончено
РАЗЛОЖЕНИЕ БУЛЕВСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ПЕРЕМЕННЫМ
Рассмотрим вопрос о нахождении способа представления произвольных функции из P2с помощью формул над множеством элементарных функций. Решение этого вопроса практически важно, поскольку делает возможным не только прямой переход от формульных представлений булевских функций к их табличному заданию, но и обратный: от табличного задания функций к их формульному представлению. Кроме того, формульное представление функций из P2 может оказаться более компактным по сравнению с табличным заданием. Введем в рассмотрение специальную функцию двух переменных
Данная функция имеет следующее табличное задание:
Из этого следует, что xs = 1 тогда и только тогда, когда x = s.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Конъюнкцией ранга r называется всякая формула K, имеющая вид: .
Булевскую функцию, представляемую конъюнкцией некоторого ранга, будем также называть конъюнкцией этого ранга, или просто конъюнкцией. Очевидно, что K = принимает значение 1на единственном наборе значений своих переменных, для которого выполнены условия: . Поэтому для всякого конкретного набора значений переменных x1, . . . , xn однозначно определяется конъюнкция ранга n, принимающая значение 1 только на этом наборе. Например, для набора . (1) Тогда, если булевская функция f(x1, . . . , xn) принимает значение 1 лишь на двух наборах значений переменных Ú . (2) Подобным образом можно выписать формулу, представляющую произвольную булевскую функции f, если заданы все наборы, на которых она равна 1. Приведенные два примера (1) и (2) представлений булевских функций формулами являются частными случаями следующей общей теоремы.
ТЕОРЕМА 4.2 (О разложении булевских функций по переменным) Пусть f (x1 , . . . , xn ) Î P2 и 1 £ m £ n. Тогда справедливо следующее тождество: f(x1 , . . . , xn ) = . (1)
Замечание. Здесь запись означает дизъюнкцию конъюнкций ранга n, составленных для всех возможных двоичных наборов (s1, . . . , sn) значений переменных x1, . . . , xn. Доказательство Покажем, что для каждого набора (s1, . . . , sn) значений переменных функции f значения, принимаемые функциями в левой и правой частях равенства (1), совпадают. Значение, принимаемое функцией слева, равно f . Рассмотрим правую часть равенства (1). Подставив в него выбранные значения переменных, получим запись: . Учитывая, что = 1 тогда и только тогда, когда " i=1, . . . ,m (gi = si), из полученного выражения можно удалить все элементы дизъюнкции, которые принимают значение равное нулю, и получить выражение: . Так как = 1, то последнее выражение равно: . То есть значения, принимаемые левой и правой частями равенства (1) на наборе значений переменных (s1, . . . , sn), равны. Доказательство окончено. Рассмотрим несколько специальных случаев доказанной теоремы. 1. Разложение по одной переменной (m = 1) f(x1 , . . . , xn ) = . 2. Разложение по всем переменным (m = n). f(x1, . . ., xn ) = В случае, когда булевская функция f(x1 , . . . , xn ) отлична от тождественного нуля, разложение по всем переменным можно записать в виде: f(x1, . . . , xn) = . Такое представление булевой функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой этой функции или СДНФ для f.
СЛЕДСТВИЕ. Всякая булевская функция представима формулой над множествомB = {&, Ú, ` }. Действительно, если f отлична от тождественного нуля, то она может быть представлена в виде СДНФ этой функции, в которую входят конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Если же f является тождественно равной нулю функцией, то f можно представить в виде .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (582)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |