Решение методом скользящей средней

Выравнивание динамических рядов.

Скользящие средние

 

 

Динамические ряды – это ряды показателей, характеризующих величину явления на определенные моменты времени (моментальные ряды) или за определенные периоды.

Выявление основной направленности динамического процесса.

В практике социально-экономических исследований ряд динамики обычно разлагают на следующие три составляющие:

- основная тенденция (тренд);

- коротко-периодические колебания (переменная);

- быстрые хаотические изменения.

Тренд – это зависимость, выражающая основную направленность изменения (динамики) изучаемого показателя: его рост, падение или колеблемость.

Выявление основной направленности динамики процесса производится различными методами:

- метод скользящих средних;

- выравнивание по методу наименьших квадратов;

- выравнивание по методу Фурье.

Метод скользящих средних.

В методе скользящих средних находят главные уровни динамического ряда путем замены абсолютных данных средними значениями за определенные периоды. Различают метод взвешенных скользящих средних и невзвешенных скользящих средних.

В методе невзвешенных скользящих средних абсолютные данные заменяются их средними значениями (средними арифметическими) за определенные периоды. При выборе этих периодов производится «скольжение», в результате которого в каждом очередном периоде исключаются первые уровни ряда и включаются последующие, т.е. весь ряд разбивается на несколько накладывающихся один на другой участков времени, содержащих обычно от 2-х до 5-ти наблюдений. Уровни, соответствующие наблюдениям, заменяются одним уровнем, равным математическому ожиданию исходных уровней и размещаемым посередине участка времени. При использовании невзвешенных скользящих средних период сглаживания может состоять из четного или нечетного числа членов.

В случае применения взвешенных скользящих средних первые скользящие средние находят по формуле:

(y1+y2) / 2, (y2+y3) / 2, …

Используя найденные скользящие средние, находят вторые скользящие средние:

((y1+y2) / 2 + (y2+y3) / 2) / 2 = (y1+2y2+y3) / 4, …

Третьи скользящие средние:

((y1+2y2+y3) / 4 + (y2+2y3+y4) / 4) / 2 = (y1+3y2+3y3+y4) / 8, …

Веса уровней при применении взвешенных скользящих средних образуют коэффициенты бинома Ньютона:

2-я скользящая средняя – 121;

3-я скользящая средняя – 1331;

4-я скользящая средняя – 14641 и т.д.

 

Задача.

Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего объем выпуска продукции предприятием в течение 15-дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя.

 

День месяца	Объем продукции	День месяца	Объем продукции

 

Решение.

Ниже описан алгоритм и представлена таблица с результатами.

 

1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждый период времени (5 или 4 дня) со сдвигом на один момент времени. Например,

5-ти дневная сумма в 5-й день месяца = 30+31+31+32+30 = 154, а

в 6-й день месяца = 31+31+32+30+30 = 154.

2. Рассчитаем скользящую среднюю для первого 5-ти дневного периода =

= 30+31+31+32+30/5 = 30,8 или 5-ти дневная сумма/5 и проставим результат в середину периода - 3-ий день месяца, и т.д. рассчитаем вторую скользящую среднюю….

3. Для 4-х дневного периода и суммы и скользящие средние рассчитываются аналогично.

4. 4-х дневная средняя сцентрированная находится из двух смежных скользящих средних

5. Таблица составляется в табличном редакторе MS Excel с использованием функций СУММ и СРЗНАЧ.

 

День месяца	Объем продукции	5-ти дневная сумма	5-ти дневная средняя	4-х дневная сумма	4-х дневная средняя	4-х дн. ср. сцентрированная
			30,8
			30,8			30,9
					30,75	30,9
						30,9
			31,2		30,75	31,1
			31,4		31,5	31,6
			31,6		31,75	31,6
			31,8		31,5	31,75
						31,9
					31,75
			32,4		32,25	32,5
					32,75

 

 

Вывод: По выровненным скользящим средним, особенно, по 5-ти дневной средней, видно, что наблюдается в основном рост объема продукции, за исключением незначительных колебаний (переменные составляющие) в начале и конце периода.

Варианты для самостоятельной работы.

Вариант 1.	Вариант 2.
Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя.	Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя.
	День месяца	Значения показателя				День месяца	Значения показателя

 

Вариант 3.	Вариант 4.
Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя.	Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя.
	День месяца	Значения показателя				День месяца	Значения показателя

 

 

Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза

Задача. Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь
2,99	2,66	2,63	2,56	2,40	2,22	1,97	1,72	1,56	1,42

Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя метод скользящей средней.

Решение методом скользящей средней

Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:

1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).

2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов

m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76

Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.

Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.

m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62

Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:

где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному. У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52 Определяем скользящую среднюю m для октября. m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5 Строим прогноз на декабрь. У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53 Определяем скользящую среднюю m для ноября. m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49 Строим прогноз на январь. У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49 Заносим полученный результат в таблицу.

Варианты для самостоятельной работы.

Вариант 1.

Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса доллара США в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.

Вариант 2.

Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса евро в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.

Вариант 3.

Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса японской иены в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.

 

Вариант 4.

Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса фунта стерлингов Соединенного королевства в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.