Теорема о существовании наклонных асимптот

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a(x),

тогда

limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,

limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.

Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

1. Множества и операции над ними.

2. Аксиоматика множества действительных чисел.

3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.

4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.

5. Общие свойства пределов последовательностей.

6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

7. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

8. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

9. Предельный переход в арифметических операциях для последовательностей.

10. Неопределенные выражения.

11. Теорема о пределе монотонной последовательности.

12. Число е.

13. Нахождение некоторых стандартных пределов.

14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. О – символика.

15. Лемма о вложенных отрезках.

16. Принцип выбора в R и в Ṝ.

17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.

18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.

19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.

20. Нижний и верхний пределы и сходимость последовательности.

21. Отображения и их основные типы.

22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.

23. Различные формы определения предела функции по Коши.

24. Односторонние пределы функции.

25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.

26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.

27. Неравенства и предельный переход для функций.

28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

29. Теорема о пределе композиции функций.

30. Вычисление .

31. О-символика для функций.

32. Эквивалентность функций.

33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.

34. Некоторые замечательные пределы для функций.

35. КритерийКоши существования предела функции.

36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.

37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.

38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.

39. 1-ая теорема Вейерштрасса (об ограничености непрерывной функции).

40. 2-ая теорема Вейерштрасса (об экстремальных значениях непрерывной функции). Теорема о непрерывности обратной функции.

41. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора и следствие из неё.

42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.

43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.

44. Геометрический смысл производной и дифференциала.

45. Односторонние и бесконечные производные.

46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.

47. Производная композиции и обратной функции.

48. Вычисление табличных производных.

49. Гиперболические функции и их производные.

50. Производные высших порядков.

51. Формула Лейбница.

52. Дифференциалы высших порядков.

53. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Теорема Ферма.

54. Теорема Ролля.

55. Теорема Лагранжа о конечных приращениях и следствия из неё.

56. Обобщённая формула конечных приращений.

57. Правило Лопиталя.

58. Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции.

59. Локальная формула Тейлора. Единственность.

60. Представление остаточного члена формула Тейлора в формах Лагранжа и Коши.

61. Разложение по формуле Маклорена важнейших элементарных функций.

62. Примеры приложений формулы Тейлора.

63. Условия монотонности дифференцируемой функции.

64. Достаточное условие локального экстремума функции в терминах 1-ой производной.

65. Достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных.

66. Различные определения выпуклости функции.

67. Аналитические условия выпуклости функции.

68. Необходимое условие перегиба функции.

69. Достаточные условия перегиба.

70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции