Производная и ее приложения
Производная. Понятие производной является одним из важнейших в курсе математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию. Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Если у=f(u) и u=φ(x)— дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у=f(φ(x)) существует и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х:
Аналогичная формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более. Таблица формул дифференцирования 1. с’=0 2. х’=1 3. (u±v)’ = u’ ± v’ 4. (uv)’ = uv’ + vu’ 5. (cu)’ = cu’ 6. 7. 8. 9. 10. (au)’ = au ln a • u’ 11. (eu)’ = eu ln eu’ = euu’ 12. где u>0 13. где u>0 14. (sin u)’ = cos u • u’ 15. (cos u)’ = - sin u • u’ 16. 17. 18. 19. 20.
21. Здесь u и v — дифференцируемые функции от х, а с - постоянная величина. Пример 1. Найти производную функции Решение. Дифференцируем функцию по формулам Пример 2. Найти производную функции у=sin3j и вычислить ее значение при j= p/3. Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом sinj. Дифференцируем ее по формулам (un)' = nun-1u', (sin u)' = cos u • u': f(j) = 3 sin2j (sinj)' = 3 sin2j cosj.
Вычислим значение производной при j = p/З: f(p/3) = 3sin2 (p/3) cos(p/3)=3(Ö3/2)2 •(1/2)=3•(3/4) • (1/2)=9/8. Пример 3. Найти производную функции Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов: t Дифференцируя, получим Геометрический смысл производной. Производная функции у =f(x) представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой его точке. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y=f(х) в точке A(а;b), равен значению производной функции при х = а: kкас=y'(a)=f'(a). Уравнение касательной, проведенной к графику функции в этой точке, имеет вид у— b=k (х -а), где k=f’(a). Пример 4.Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х=2. Решение. Сначала найдем ординату точки касания А (2;у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т. е.
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке А(2;2), имеет вид у - 2 = k(x - 2). Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2: Уравнение касательной таково: у - 2 = - (х - 2), или у - 2 = -х + 2, т. е. х + у - 4 = 0.
Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s = s (t), то производная пути s по времени t равна скорости движения тела в данный момент времени t: Быстрота протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной. Производная функции у=f(х) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:
Пример 5. Закон движения точки по прямой задан формулой s=t2+3t+5. В какие моменты времени t скорость движения точки равна нулю? Решение. Скорость прямолинейного движения точки равна производной пути s по времени t: v (t) = s' = 3 t2 - 6t + 3; v (t) =0,З t2 - 6t + 3 = 0, t2 - 2t + 1 = 0, (t — 1)2 = 0, откуда t = 1. Вторая производная. Производной второго порядка (или второй производной) функции называется производная от первой производной у' =f' (х): у" = (у’)' или f" (х) = (f' (х))'. Пример 6. Найти вторую производную функции f(x)=tg x. Решение. Сначала по формуле найдем первую производную: Дифференцируя еще раз по формулам (un)’=nun-1u’, сos u)’=-sin u*u’, найдем вторую производную:
Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t: а (t) = v' = s". Пример 7. Точка движется по прямой по закону s=t3-5t2+8t+2. (s - в метрах, t - в секундах). Найти ускорение движения точки в конце второй секунды. Решение. Сначала найдем производную пути s по времени t: s' = 3 t2 - 10 t + 8. Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути s по времени t: а (t) = s" = 6 t - 10, а(2) = 6 • 2 - 10 = 12 - 10 = 2. Ускорение движения точки в конце второй секунды равно 2 м/с2.
Приложения производной к исследованию функций.Дифференцируемая функция у=f (х) возрастает на промежутке ]а, b[, если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка. Дифференцируемая функция у=f(x) убывает на промежутке]а; b[, если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка. Функция y=f(x) имеет максимум в точке х = x1 (рис. 38), если для всех значений х, достаточно близких к x1, выполняется неравенство f(х) < f(х1); x=х1 - точка максимума; уmaх =f (х1) - максимум функции. Функция у = f(x) имеет минимум в точке х = х2 (рис. 38), если для всех значений х, достаточно близких к х2, выполняется неравенство f(x) > f(х2); х = х2 - точка минимума; уmaх = f(х2) - минимум функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремальными. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются критическими, точками I рода. Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х=х0 производная функции y=f(х) меняет знак, то х=х0 - точка
экстремума. При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х=х0= - точка максимума, а уmах =f(х0). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х= х0 - точка минимума, a уmin =f(х0) Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х0 первая производная функции у=f(x) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х=х0 - точка экстремума. При этом если вторая производная в этой точке положительна (f" (х0)>0), то х=х0 - точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f"(х0) < 0), то х= х0 – точка максимума. рис. 38.
Направление вогнутости и точки перегиба кривой. Говорят, что на промежутке ]а, b[ кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла (Ç), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 42). Говорят, что кривая на промежутке ]b,с[ обращена выпуклостью вниз или вогнута (È), если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 42). Точка А, в которой меняется направление вогнутости кривой, называется точкой перегиба кривой (рис. 42). График дифференцируемой функции y=f(x) является выпуклым на промежутке ]а; b[, если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка. График дифференцируемой функции y=f(x) является вогнутым на промежутке ]b; с[, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка. Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, называются критическими точками II рода. Если при переходе через критическую точку II рода х = х0 вторая производная функция меняет знак, то х = х0 - абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба равна значению
функции в точке х0, т.е. ут.п. =f(х0); А(х0;f(х0)) - точка перегиба графика функции у = f(х). Исследование функций и построение их графиков. Исследование функции можно проводить по следующей схеме: 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции. 4. Найти направление вогнутости и точки перегиба графика функции. 5. Для уточнения графика функции рекомендуется найти несколько дополнительных точек из уравнения функции. Пример 8. Построить график функции у = х3 - Зх. Решение 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т. е. х = R. 2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат:
3. Находим экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную у' = Зх2 - 3. Затем найдем критические точки I рода: у' = 0,Зх2 - 3=0, х2 = 1, х1= 1, х2 = -1. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 43). Исследуем знак производной в каждом интервале; у'(-2) > 0, у' (0) < 0, у'(2) > 0. Функция возрастает при хÎ] -¥,-1[U]1,+¥[и убывает при хÎ] –1,1[. Итак, х= -1 — точка максимума; уmaх = у(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2; х=1 — точка минимума; ymin = у (1) = 13—3*1=1-3=-2.
4. Находим направление вогнутости и точки перегиба графика функции. Для этого сначала найдем вторую производную у" = 6х, а затем критические точки II рода: у" =0,6х=0, х = 0. Отметим эту точку на числовой прямой (рис. 44). Исследуем знак второй производной в каждом интервале: у"(-1) < 0, у"(1)>0.
Таким образом, график является выпуклым при хÎ] -¥,0[ и вогнутым при хÎ] 0, + ¥ [; х = 0 — абсцисса точки перегиба, yт.п= у(0) = 0; О (0,0) - точка перегиба графика функции. Отметим все полученные точки в системе координат и соединим их плавной кривой (рис. 45). Для уточнения графика функции можно найти дополнительные точки, используя уравнение функции: у(-2)= -2, у (2) =2.
Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение производной функции. 2. В чем состоит геометрический смысл производной? 3. В чем состоит физический смысл производной? 4. Дайте определение второй производной функции. 5. В чем состоит физический смысл второй производной? 6. Напишите все формулы дифференцирования. 7. Как найти промежутки возрастания и убывания функции? 8. Как найти точки экстремума и экстремумы функции? 9. Как найти промежутки выпуклости и вогнутости кривой? 10. Как найти точки перегиба кривой?
11. Найдите производные функций: а) у = In tg (х/2); б) у = cos2 Öx; в) f(x)=(x+1)2х-1. 12. Составьте уравнение касательной к кривой у = х2 — 4х в точке с абсциссой х = 1. 13. Прямолинейное движение точки задано уравнением (s - в метрах, t - в секундах). Найдите скорость и ускорение движения точки в конце второй секунды, 14. Какой из прямоугольников с периметром, равным 48см, имеет наибольшую площадь? 15. Число 66 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Ответы. 11. a) cosec х; б) в) 12. 2х+у+1=0. 13. 3 м/с, 2 м/с2. 14. Квадрат со стороной 12 см. 15. 33 и 33.
Решение. Находим производную данной функции, используя формулы
Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал: Пример 2. Вычислить значение дифференциала функции n = In sin 2j при j = p/8, Dj = 0,02. Решение: Дифференциал функции вычисляем по формуле dv = v' (j) dj.
Прежде чем применить эту формулу, используя равенства (sin u)’ = cos u,u’, (си)’=си’, находим производную функции и ее значение при j = p/8: Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции). Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения F (х, у, у') = 0. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = j(х, С) от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде Ф (х, у. С) =0, называется общим интегралом. Частным решением уравнения F (х, у, у') = 0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С: у =j(х, Со), где Со - фиксированное число. Частным интегралом уравнения F(x, у, у') = 0 называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф (х, у, Со) = 0. График любого частного решения дифференциального уравнения F (х, у, у') = 0 называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра С. Пример 1. Составить уравнение кривой y=f(x), если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен 2х. Решение. Так как на основании геометрического смысла производной у' = kкас, то получим дифференциальное уравнение первого порядка: Чтобы найти, искомую функцию у=f(х), надо проинтегрировать обе части уравнения: òdy = ò 2xdx. Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения:
у=х2+С. Геометрически это решение представляет собой семейство парабол (рис. 55) с вершиной на оси Оу, симметричных относительно этой оси. Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть у = -1 при х=1; тогда общее решение примет вид -1 = 1 + С, откуда С = - 2. Геометрически частное решение у = х2 - 2 представляет собой параболу, проходящую через точку (1; -1) (рис. 55).
рис. 55 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общий вид такого уравнения Х (х) • Y (y)dx + X1(x) • Y1 (у) • dy = 0, где Х (х), Х1(х) — функции только от х, Y(у), Y1(у)—функции только от у. Поделив обе части уравнения на произведение X1(x)•Y(у)¹0, получим уравнение с разделенными переменными:
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (6162)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |