Задача № 3. Нахождение максимума и минимума функции

3.1. Найдите интервалы монотонности и экстремум функции .

Функция определена на всей числовой оси. Найдём её производную. .

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.

— критические. Результаты исследования занесём в таблицу:

	+				+

Таким образом, функция возрастает а интервалах и , а убывает на интервале .

Точки являются точками экстремума. В точке функция достигает максимума, в точке функция достигает минимума.

3.2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим критические точки данной функции.

.

;

;

;

;

Отрезку принадлежит только одна критическая точка . Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка:

;

;

.

Сравнивая полученные значения, найдем, что есть наибольшее значение функции, а — наименьшее значение функции на отрезке .

3.3. Найти максимум и минимум функции .

1. Функция определена для всех , т.е. область определения .

Находятся точки экстремума функции, вычисляются её экстремальные значения, находятся интервалы монотонности функции.

2. .

при и .

	+			+		+

Поэтому функция возрастает в интервалах и , убывает в интервале . Точка является точкой максимума и .

Тема "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных"

Задача 1. Линии уровня функции двух переменных.

Для функции построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку .

Решение

Графиком линейной функции двух переменных является плоскость в пространстве. График данной функции представляет собой плоскость, проходящую через точки , , .

Линиями уровня функции являются прямые , или . Они параллельны друг другу и отсекают на оси отрезок .

 

 

4

 

4

 

0 1 2

Рисунок 3 – График функции

 

 

Рисунок 4 – Линии уровня функции

Задача 2. Вычисление частных производных функций.

Даны функции двух переменных .

1) Для функции найти частные производные , и вычислить их значения в точке .

2) Для функции показать, что .

Решение

1) Частная производная функции по переменной находится в предположении, что постоянна:

.

Частная производная функции по переменной находится в предположении, что переменная постоянна:

.

Вычислим значения частных производных при , :

, .

2) Смешанная частная производная второго порядка находится последовательным дифференцированием сначала исходной функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной по (считая постоянным):

Производная находится последовательным дифференцированием функции сначала по , затем производной по .

Как и следовало ожидать, .

Задача 3. Градиент функции двух переменных.

Дана функция .

1) Найти градиент в точке .

2) Найти и построить в точке .

Решение

1) Градиент - это вектор, координаты которого равны частным производным функции по переменным и :

.

2) В точке градиент . Начало вектора в точке , а конец - в точке .

 

 

 

0 2 4

Рисунок 5 – Градиент функции

 

Задача 4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в области.

Найти графическим методом наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной системой линейных неравенств:

Решение

1. Построим полуплоскости и найдем их пересечение. В качестве контрольной точки возьмем , не лежащую на граничных прямых.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6 – Графическое решение задачи нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Прямая ( ) построена по точкам и . Так как неравенство верное, то полуплоскость обращена в сторону точки .

Прямую ( ) строим по точкам и . Неравенство верное, полуплоскость направлена в сторону .

Прямая ( ) построена по точкам и ; полуплоскость обращена в сторону .

Неравенства и показывают, что пересечение полуплоскостей находится в первой координатной четверти.

2. Построим градиент функции - вектор с координатами , а перпендикулярно градиенту - линию уровня, прямую .

Параллельным переносом линии уровня в направлении градиента найдем точку ее «входа» в область – это точка на оси ОУ, в которой функция принимает наименьшее значение. Вычислим значение функции в этой точке: .

Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области, в которой функция принимает наибольшее значение. Вычислим значение функции в этой точке: .

Ответ: , .