Решение типового примера

у=х³+9х²+15х-9

1) Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R

2) Найдем производную функции

y^´=3x²+18x+15

3) Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю.

3x²+18x+15=0, :/3

х²+6х+5=0

D=36-4·5=16; x₁= ; x₂=

Значит функция имеет две критические точки х₁=-1, х₂=-5.

4) Найдем промежутки монотонности функции, для этого разбиваем область определения критическими точками на интервалы

+ – +

–5 –1

т. max т. min

Определим знак производной на каждом интервале:

y^´(0)=3·0²+18·0+15=15>0, значит на интервале (-1;+ ) производная функции положительная, значение функции возрастает.

y^´(-2)=3·(-2)²+18·(-2)+15=-9<0, на промежутке (-5;-1) производная функции отрицательная, значения функции убывает.

y^´(-6)=3·(-6)²+18·(-6)+15=30>0, на промежутке (- ;-5) производная функции положительная, значения функции возрастает.

Отсюда следует, что х₁=-5 – точка максимума (max), х₂=-1 – точка минимума (min).

5) Найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:

y´´=6х+18

6х+18=0

6х=-18

х=-3 – критическая точка.

6) Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Разобьем область определения на интервалы (- ;-3) и (-3;+ )

– +

–3 (т. перегиба)

Определим знак второй производной на каждом интервале:

y´´(0)=6·0+18=18>0;

y´´=6·(-4)+18=-6<0.

На промежутке (-3;+ ) – функция выпуклая; а на промежутке (- ;-3) – функция вогнутая, значит х=-3 – точка перегиба.

7) Найдем значение функции в точках в точках экстремума и перегиба

y_max=y(-5)=((-5)³+9(-5)²+15(-5)-9)=16

y_min=y(-1)=((-1)³+9(-1)²+15(-1)-9)=-16

y_{перегиба}=y(-3)=((-3)³+9(-3)²+15(-3)-9)=0

8) Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований

у

 

 

0

-5 -3 -1 х

 

 

 

 

 

-16

Задание № 4

В задачах 41-50вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.

41. а) ;

б) .

42. а) ;

б) .

43. а) ;

б) .

44. а) ;

б) .

45. а) ;

б) .

46. а) ;

б) .

47. а) ;

б) .

48. а) ;

б) .

49. а) ;

б) .

50. а) ;

б) .

Решение типового примера

1) Найти неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.

а)

Проверка дифференцированием:

б)

Применим подстановку

Проверка дифференцированием:

Используемые формулы:

 

Задание № 5

В задачах 51-60вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:

51. y=x², y=49.

52. y=x³, y=8, x=0, x=2.

53. y=x²+1, x= - 2, x= 2.

54. y=x², y=64.

55. y=x²+2, x=-2, x=2.

56. y=x³+1, y=9, x=0, x=2.

57. y=x²+1, y=26.

58. y=x²+3, x=-1, x=2.

59. y=x³+1, y=28, x=0, x=3.

60. y=x²+2, y=27.

 

Решение типового примера

 

Вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:

, x=0, x=3 y

29

 

2

 

0 3 x

 

 

Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий

; ; ;

Площадь фигуры

Ответ: площадь фигуры составляет

Используемые формулы: Ньютона-Лейбница

 

Задание № 6

 

В задачах 61-70найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка:

61. ;

62. ;

63. ;

64. ;

65. ;

66. ;

67. ;

68. ;

69. ;

70.