Одномерные случайные величины

Дисперсию дискретной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Пусть -постоянная величина. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины обладают следующими свойствами:

Свойства математического ожидания: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если и независимы.

Свойства дисперсии: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , если и независимы.

Случайная величина называется (абсолютно) непрерывной случайной величиной(НСВ), если её функция распределения представляется в виде , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности (распределения) вероятностей. Множество возможных значений непрерывной случайной величины несчётно и обычно представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой прямой.

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной неубывающей функцией на всей числовой прямой, причём вероятность попадания в любую фиксированную точку равна нулю: , .

Функция является плотностью вероятностей некоторой НСВ , тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

Плотность вероятностей в точках, где дифференцируема, определяется равенством: . В точках, где не дифференцируема, плотность вероятностей , определяется произвольным образом, чаще всего по непрерывности слева или справа.

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей :

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число , если интеграл сходится абсолютно.

Дисперсию непрерывной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Медианой непрерывной случайной величины называется число , удовлетворяющее условию или .

Начальным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Центральным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Для непрерывной случайной величины начальные и центральные моменты вычисляют по формулам: , .

2.2 Основные законы распределения одномерных случайных величин.

Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение , если: , .Если ~ , то: , .

Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона если: , .Если ~, то:

, .

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение ,если: .Если ~, то: , , .

Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение ,если: .Если ~, то: , , .

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение ,если: , . Если ~, то: , , , , где - функция Лапласа, значения которой находят с помощью специальных таблиц.

2.3 Многомерные случайные величины.

Под -мерной случайной величиной (случайным вектором) понимаютсовокупность случайных величин , принимающих свои возможные значения в зависимости от исхода эксперимента, с которым они связаны. Ограничимся рассмотрением двумерных случайных величин , .

Функцией распределения случайного вектора называется функция действительных переменных и , , определяемая формулой .

Зная функцию распределения (совместную) вектора , можно найти функцию распределения (частную) каждой компоненты:

, .

Случайные величины и называются независимыми, если для всех : . В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Случайный вектор называется дискретным случайным вектором, если каждая из его компонент является дискретной случайной величиной. Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин и с конечным множеством возможных значений и .

Функция распределения дискретного случайного вектора задаётся формулой , где , , и суммирование распространяется на все значения индексов и для которых и .

Закон распределения дискретного случайного вектора удобно задавать таблицей распределения (вероятностей), в которой перечислены все возможные пары значений ), , компонент вектора и соответствующие им вероятности , причём .

Частные законы распределения , и , компонент и , где , , можно найти, производя в таблице суммирования в каждой строке по столбцам и в каждом столбце по строкам.

Дискретные случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда , , , . В противном случае они зависимы.

Ковариацией (корреляционным моментом) случайных величин и называют число . Очевидно, что . Более удобной для вычисления является формула . Для независимых случайных величин и : (необходимое условие независимости).

Коэффициентом корреляциислучайных величин и называют число

, где , .

Коэффициент корреляции обладает свойствами: 1) ; 2) тогда и только тогда, когда и связаны линейной зависимостью , ; 3) если и независимы, то (необходимое условие независимости). Если , то случайные величины и называют некоррелированными.

Условные законы распределения компоненты при , (индекс сохраняет одно и тоже значение при всех возможных значениях ) задают рядами распределения, указывая все возможные значения и соответствующие им условные вероятности: , . Аналогично задают условные законы распределения компоненты при , : , . Условные вероятности компонент и вычисляют соответственно по формулам:

, .

Числовые характеристики , , , , , вычисляют по формулам: , , ,

, .

Условные математические ожидания дискретных случайных величин и при условиях и определяются соответственно формулами: , .

Вероятность события , где - постоянная величина, вычисляется по формуле , где суммирование распространяется на все значения индексов и для которых .

2.4 Функции случайных величин.

Случайную величину , которая каждому исходу ставит в соответствие число , называют функцией от скалярной случайной величины и пишут .

Функция от дискретной случайной величины также является дискретной. Если задана рядом распределения , , то рядом распределения случайной величины является ряд: , , , где - различные числа среди чисел , ( суммирование распространяется на все значения индекса для которых ).

Функция от непрерывной случайной величины может быть как непрерывной, так и дискретной случайной величиной.

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайной величины можно не знать закон распределения зависящей от случайной величины , а достаточно знать закон распределения случайного аргумента . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , где дискретная случайная величина задана рядом распределения , , , могут быть найдены по формулам:

, .

Тема 3. Предельные теоремы теории вероятностей.

Если для неотрицательной случайной величины существует математическое ожидание , то для всех выполняется неравенство:

(первое неравенство Чебышева).

Если для случайной величины существует дисперсия , то для всех выполняется второе неравенство Чебышева:

или

Второе неравенство Чебышева часто используют в виде:

, .

Последовательность случайных величин называют сходящейся по вероятности к случайной величине (кратко записывается ), если для всех : .

Говорят, что для последовательности случайных величин , имеющих математические ожидания , , выполняется закон больших чисел, если , т.е. для всех .

Закон больших чисел в форме Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин такова, что существуют и , причём дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то для неё выполняется закон больших чисел, т.е. . В частности, если случайные величины , являются также одинаково распределёнными (в этом случае , ), то .

Закон больших чисел в форме Бернулли. Если - число успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха в отдельном испытании, то , т.е. для всех .

Закон больших чисел в форме Бернулли является частным случаем закона больших чисел в форме Чебышева.

Центральная предельная теорема. Пусть - последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин ( , , ), тогда последовательность нормированных случайных величин , где , сходится по распределению при к стандартной нормальной величине ~ , т.е. для всех : .

Тема 4. Основные понятия и задачи математической статистики. Предварительная обработка экспериментальных данных.

Выборкой объёма из генеральной совокупности называется совокупность наблюдаемых значений случайной величины , соответствующих независимым повторениям случайного эксперимента с которым связана величина . В математической статистике генеральную совокупностьотождествляют со случайной величиной, совокупность всех возможных значений которой и называют генеральной совокупностью.

Выборка может быть записана в виде вариационного и статистического (дискретного или интервального) рядов. Выборку, записанную в виде статистического ряда, называют группированной.

Вариационным рядом выборки называется такой способ её записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности , где . Разность называется размахом выборки. Всюду в дальнейшем выборочные характеристики будем, как правило, обозначать символом с « » наверху.

Различные значения , ( ), называются вариантами. Число повторений варианты в выборке называется её частотой, а отношение называется её относительной частотой.

Дискретным статистическим рядомназывается упорядоченная в порядке возрастания значений вариант последовательность пар , . Обычно его записывают в виде таблицы, первая стока которой содержит варианты , а вторая их частоты.

Полигоном частотназывается фигура, расположенная под ломаной линией с вершинами в точках , построенных в прямоугольной системе координат.

Интервальным статистическим рядомназывается последовательность пар , , где - непересекающиеся интервалы, как правило, равной длины, объединением которых является отрезок , содержащий все выборочные значения; - частота интервала , равная числу элементов выборки, значения которых попали в данный интервал. Обычно его записывают в виде таблицы, первая строка которой содержит границы интервалов или их середины , а вторая – частоты интервалов.

Гистограммой частотназывается ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте , . Если длины всех интервалов одинаковы и равны , то высоты прямоугольников равны .