I. Метод обратной матрицы

и матрицу D= (A|C) называют соответствующими;

задает n систем линейных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n, с единой матрицей коэффициентов А;

задает (n + 1) матричных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n+1;

имеет расширенную матрицу (A|C) размера n×2n;

имеет расширенную матрицу (С|А) размера n×2n.

4. Строку расширенной матрицы (A|C), составленной для матричного уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, будем называть противоречивой, если

она состоит из одних нулей;

первые ее n элементов – нули, а остальные отличны от нуля;

первые ее n элементов отличны от нуля, а остальные – нули;

первые ее n элементов – нули, а среди остальных элементов найдется хотя бы один ненулевой;

в ней нет нулевых элементов.

5. Если расширенная матрица уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, содержит противоречивую строку, то можно утверждать, что матричное уравнение

имеет хотя бы одно решение;

имеет, по крайней мере, одно решение;

не имеет решений;

имеет единственное решение;

имеет бесконечно много решений.

6. Дано матричное уравнение AY = C с квадратными матрицами A, Y, C порядка n. Отметьте верные высказывания:

если матрица А невырожденная, то уравнение AY = Cможно решить методом Гаусса;

если А – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

если А – вырожденная, а С – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

если А – невырожденная, а С – вырожденная матрица, то уравнение имеет бесконечно много решений;

уравнение имеет единственное решение, если и только если матрица А – невырожденная.

7. Для матричного уравнения AY = C с квадратными матрицами A, Y, C одного и того же порядка укажите верные утверждения, описывающие взаимосвязь количества решений уравнения и свойств матриц А и С:

уравнение имеет единственное решение, если матрицы А и С невырожденные;

уравнение не имеет решений, если матрица А – вырожденная, а матрица С – невырожденная;

уравнение не имеет решений, если матрица А – невырожденная, а матрица С – вырожденная;

если решение уравнения единственно, то матрица А – вырожденная;

если обе матрицы А и С – вырожденные, то уравнение может либо не иметь решений, либо иметь решение в зависимости от вида этих матриц.

8. Пусть A – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица того же порядка. Матрицей, обратной для матрицы А, называется решение Y матричного уравнения:

А+Y = E;

А∙Y = E;

Y·A = E;

А+E = Y;

А–Y = E.

9. Укажите матрицы, для которых обратные матрицы либо не существуют, либо вообще не определяются:

вырожденные матрицы;

невырожденные матрицы;

квадратные матрицы, все элементы которых нулевые;

прямоугольные матрицы размера m×n, где m ≠ n;

матрицы, содержащие строку (столбец), состоящую из одних нулей.

10. Укажите верные высказывания:

если матрица невырождена, то она имеет обратную;

если матрица вырождена, то, в зависимости от ее вида, она может либо иметь, либо не иметь обратную матрицу;

любая вырожденная матрица имеет обратную матрицу;

матрица, имеющая обратную, невырожденная;

матрица, имеющая обратную, является вырожденной.

11. Если А^–1 – матрица, обратная для матрицы А, то справедливы следующие высказывания:

обратной для матрицы А^–1 является матрица А;

матрицы А и А^–1 являются взаимно обратными;

А· А^–1 = Е;

А^–1·А = Е;

(А^–1)^–1 = А.

12. Среди следующих квадратных матриц укажите такую, которая обратна самой себе:

;

;

;

;

.

13. Среди следующих матриц укажите обратную матрицу для матрицы :

;

;

;

;

.

14. Среди следующих матриц укажите обратную (если она существует) для матрицы :

;

;

;

такой матрицы не существует;

.

15. Если A, В, Е – квадратные матрицы, для которых выполняется равенство A·В = Е, то отсюда следует, что

А – невырожденная матрица;

В – невырожденная матрица;

А – обратная для В матрица;

В – обратная для А матрица;

выполняется равенство В·А = A·В.

16. Пусть A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, причем А – невырожденная матрица. Тогда относительного матричного уравнения AY = C можно утверждать, что

оно не имеет решения;

оно имеет единственное решение;

решением уравнения является матрица А^–1С;

для решения уравнения можно использовать метод Гаусса;

уравнение имеет более одного решения.

17. Если А – произвольная невырожденная матрица, то можно утверждать, что

для нее существует обратная матрица А^–1;

для матрицы А^Т существует обратная матрица (А^–Т)^–1;

А^–1 = (А^Т)^–1;

(А^–1)^Т = А;

(А^–1)^Т = (А^Т)^–1.

18. Пусть А, В – произвольные невырожденные матрицы одинакового порядка. Укажите верные утверждения:

в зависимости от вида матриц А и В их произведение А·В может быть как вырожденной матрицей, так и невырожденной;

для матрицы В·А существует обратная;

для матрицы А·В существует обратная матрица;

(А·В)^–1 = А^–1·В^–1;

(А·В)^–1 = В^–1·А^–1.

19. Если А – произвольная невырожденная матрица, то справедливы следующие высказывания:

А^Т – невырожденная матрица;

А^Т может быть как вырожденной, так и невырожденной в зависимости от вида матрицы А;

для матрицы А А^Т существует обратная матрица;

матрицы А и А^Т имеют одну и ту же обратную матрицу;

(А А^Т)^–1 = А^–1 (А^–1)^Т.

20. Пусть A, Y, C – квадратные матрицы одного и того же порядка. В каком из следующих случаев матричное уравнение AY = C может иметь бесконечно много решений:

А – невырожденная матрица;

А и С – невырожденные матрицы;

А – вырожденная, а С – невырожденная матрица;

А и С – вырожденные матрицы;

С – вырожденная, А – невырожденная матрица.