Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации

При проектировании фильтра учитывался лишь модуль передаточной функции. В общем случае . Здесь аргумент передаточной функции. Если спектр исходного сигнала сосредоточен в точке , то в результате фильтрации, кроме изменения интенсивности, происходит сдвиг фильтрованного сигнала на величину по отношению к исходному. При сравнении исходного сигнала с соредоточенным спектром и результирующего наблюдается сдвиг одного относительно другого. В общем случае наблюдается фазовое искажение сигнала, однако, одно не улавливается ухом. В то же время, когда важна фаза сигнала, приходится использовать методы компенсации или фильтр с вещественной передаточной функцией. Для компенсации фазового искажения можно использовать, например, фильтры вида , где -любое число, . Это устойчивый фильтр, а его передаточная фукнция имеет вид . Модуль этой передаточной функции равен 1, а аргумент меняется вместе с частотой.

Фильтры с конечным временем отклика

Рассмотрим фильтр, заданный равенством

(2)

Это фильтр с конечным временем отклика (FIR). После преобразования Фурье получим . Если дополнительно предположим, что , то получим симметрический фильтр. Для него передаточная функция будет вещественной, и фильтр не вносит фазовых искажений.

Проектирование FIR фильтров. Сглаживающие окна

Предположим, что функция задана на интервале . Представим ее в виде ряда . Для получения FIR фильтра с аппроксимирующей передаточной функцией можно оставить лишь конечное число слагаемых в этой сумме. Если выбираются максимальные по модулю коэффициенты, то результирующая передаточная функция будет наилучшей аппроксимацией в смысле наименьших квадратов при заданном числе слагаемых. Оказывается, что такой подход не всегда приемлем. Выясним, что происходит при обрезании ряда. Введем функцию равную 1 при и 0 в остальных точках. Тогда . Непосредственно находим, что . График этой функции изображен на рисунке.

Она напоминает функцию, но содержит и боковые лепестки. В результате свертки с оригиналом при вычислении участвуют как значения , так и значения этой функции в окрестности лепестков функции .

Чтобы снизит указанный эффект вместо прямоугольных окон используются другие окна: треугольные окна, окно Хэмминга , Хэнинга и некоторые другие. Эти окна отличаются тем, что для их преобразований Фурье боковые лепестки выражены менее ярко. На рисунке показано преобразование Фурье от функции Хэмминга.