Аналитические исследования

При аналитическом исследовании моделей математического программирования используются общеизвестные методы отыскания экстремальных значений – классические методы оптимизации. В качестве основного математического аппарата применяется дифференциальное исчисление для нахождения значения переменных, максимизирующих или минимизирующих целевую функцию. Для использования этих методов математическую модель необходимо преобразовать в систему уравнений относительно искомых величин. Результатом решения аналитической модели является либо получение формул для вычисления искомых величин, либо приведение уравнений к виду, для которого решения известны. При моделировании сложных процессов осуществление таких преобразований является достаточно сложной задачей.

В классических задачах оптимизации целевая функция и уравнение связи должны быть, по крайней мере, дважды дифференцируемыми функциями, а ограничения – иметь вид строгих равенств.

Классические задачи оптимизации разделяются на два подкласса:

1. Задача отыскания безусловного экстремума. В этих задачах отсутствуют ограничения на область допустимых значений переменных управления , т.е. отсутствует функция . Постановка задачи имеет вид

. (3.1)

2. Задача отыскания условного экстремума с ограничениями типа равенств. Постановка задачи имеет вид

;

, (3.2)

где – векторы констант модели.

Задача типа (3.2) в результате применения метода множителей Лагранжа сводится к задаче (3.1). При этом исходная функция заменяется функцией Лагранжа

, (3.3)

где - неопределенные коэффициенты.

Классический подход к решению задачи безусловной оптимизации состоит в использовании необходимого условия экстремума функции. Необходимым (но недостаточным) условием существования экстремума непрерывной функции является равенство нулю всех ее частных первых производных, т.е. условия , либо для (3.3)

; (3.4)

. (3.5)

Корни систем уравнений (3.4), (3.5) называются стационарными. Эти точки "подозрительны" на предмет нахождения в них максимума, минимума или седловых точек функций , либо .

Процедура решения задачи оптимизации классическим методом состоит из следующих этапов:

· получение и решение системы уравнений (3.4) или (3.5) с целью определения всех стационарных точек;

· анализ тем или иным способом стационарных точек для выявления всех максимумов (минимумов) функции;

· сравнение между собой максимальных (минимальных) значений функций , с целью определения глобального максимума (минимума).

Получаемые в процессе решения системы уравнений (3.5) значения коэффициентов характеризуют влияние ограничений на нахождение оптимальных значений. При , близком к нулю, j-е ограничение несущественно влияет на нахождение оптимума. Информация о значениях коэффициентов , полученная в результате расчета, дает возможность проверить правильность формирования концептуальной модели, например, сопоставить приоритетность ограничений концептуальной модели с приоритетностью, получаемой в результате расчета. Это может привести к пересмотру концептуальной модели, исключению одних и включению других (новых) ограничений.

Зачастую аналитическое решение систем уравнений удается получить в виде параметрических формул

,

что позволяет определить влияние изменения различного рода факторов модели на оптимальность решения, в том числе оценивать чувствительность полученного решения к действию случайных и неопределенных факторов.

Несмотря на принципиальную ясность в отношении классических методов решения задач безусловной оптимизации, на этом пути могут встретиться вычислительные трудности, которые делают необходимым поиск соответствующих методов решения. Так, только для систем линейных уравнений любого порядка разработаны точные методы нахождения решения, например, методы Крамера, Гаусса и др. В общем же случае уравнения типа (3.4), (3.5) являются нелинейными. Для отыскания точного решения произвольной системы уравнений высокого порядка не существует какой-либо надежной вычислительной схемы. Для определения приближенного решения может быть использован метод Ньютона и его модификации.

Введение ограничений типа неравенства и ограничений на положительность переменных, что принципиально важно для экономических исследований, приводит к необходимости поиска решений подобных аналитических моделей методом Куна-Таккера, являющимся одной из разновидностей численных методов.