Линейные преобразования

Раздел 2. Квадратичные формы и линейные операторы

Линейные операторы

Линейное (векторное) пространство

Пусть - множество элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число, причём эти операции обладают следующими свойствами.

Для любых элементов , , из множества

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) во множестве существует нулевой элемент такой, что для любого элемента , (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента существует элемент , такой, что (существование противоположного элемента);

5) .

Для любых действительных чисел любых элементов , из множества ;

6) ;

7) Распределительный закон ;

8) .

Определение. Множество называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Примерами векторных пространств являются множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Свойства линейных пространств

1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент .

2) Для каждого элемента существует только один ему противоположный элемент .

3) Для каждого элемента выполняется равенство × ;

4) Для каждого и выполняется равенство × ;

5) Если , то или ;

6) .

Линейные преобразования

Определение. Говорят, что в линейном пространстве задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу по некоторому правилу ставится в соответствие элемент .

Определение. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов и и любого выполняются равенства

Определение. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует каждый элемент линейного пространства в себя.

.

Пример. Является ли А линейным преобразованием А = + ; ?

Запишем преобразование А для произвольного элемента : А = + . Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования: Очевидно, это равенство верно только при т.е. данное преобразование А нелинейное.

Определение. Если в пространстве существуют векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Определение. Если выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Определение. Если в линейном пространстве есть n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства .

Следствие. Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.