Канонический вид квадратичной формы

Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных и

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных и

,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты .

Если задана квадратичная форма , то ее можно рассматривать как функцию от переменных и .

2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей . Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

где и координаты вектора в базисе . Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами и суть скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

При переходе к новому базису от переменных и перейти к переменным и . Тогда:

Следовательно, .

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теорема. (Лагранжа).Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду.

С помощью невырожденного линейного преобразования приведем квадратичную форму к виду, в котором Все слагаемые, содержащие , соберем в одну скобку и дополним эту скобку до полного квадрата, получим

,

где оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму от неизвестных . Невырожденное линейное преобразование неизвестных

приводит квадратичную форму к виду

.

Повторив рассуждения, с учетом того, что последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований вновь невырожденное линейное преобразование, получим утверждение теоремы.

Пример. Приведите с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных к каноническому виду квадратичную форму .

Линейное преобразование приводит квадратичную форму к виду А линейное преобразование - к виду . Найдем сквозное линейное преобразование . Так как определитель матрицы линейного преобразования

равен – 2, то оно является невырожденным.

Ответ: невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к каноническому виду .

Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, а квадраты переменных входят с коэффициентами 1 или -1 или совсем не входят. После изменения нумерации переменных нормальный вид можно переписать в виде: сначала идут коэффициенты 1, затем -1, а затем нули,

.