Главные площадки и главные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии
При повороте элементарного объёма относительно точки М компоненты тензора напряжений (4.1), как показывают формулы (4.5 – 4.8) , изменяются, т.е., их значения зависят от ориентации элементарного объёма в пространстве. Можно указать такую его ориентацию, при которой на наклонной площадке с внешней нормалью ν касательные напряжения τy'z' окажутся равными нулю. Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями. Пусть на исходных площадках действуют компоненты тензора напряжений (рис. 4.4). Найдем при этом положение главных площадок и значения главных напряжений на них. Предположим, что наклонная площадка с нормалью ν является главной с одним нормальным напряжением σν=σ(i), (i=1,2,3). Рассматривая в равновесии выделенную пирамиду, т.е., проектируя все силы на оси координат х, у, z получим -σxdFx + σdFl +τyxdFy+ τzxdFZ = 0 -σydFy + σdFm+τ xydFx +τzydFz = 0 -σzdFz + σdFn+τxzdFx +τyzdFy = 0: Разделив последние три равенства на площадь наклонной площадки dF, получим три однородных линейных алгебраических уравнения относительно направляющих косинусов l, m, n:
, , (4.12) .
Система уравнений не должна иметь нулевое решение в силу того, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, т. е.: (4.13)
Тогда определитель системы уравнений (4.12) (4.14)
Раскрывая определитель системы уравнений (4.14), получим кубическое уравнение относительно нормального напряжения на главной площадке: σ3–J1(Тσ)σ2 + J2(Тσ)σ – J3(Тσ) = 0 (4.15)
Коэффициенты при напряжении σ в уравнении (4.15): J1(Тσ)=σx +σy +σz; J2(Тσ)=σxσy +σyσz + σzσx–τxy2-τyz2-τxy2 (4.16) J3(Тσ)=σxσyσz +2τxyτyzτzx–σxτyz2-σyτzx2- σzτxy2 называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния, т.е., величинами, не зависящими от преобразования координат относительно вращения элементарного объёма. Кубическое уравнение (4.15) имеет три действительных корня, значения, которых расположим в такой последовательности: σ1≥ σ2 ≥ σ2. Напряжения σ1, σ2 , σ3 будут главными, значения их не зависят от операции вращения. Поэтому они будут являться инвариантами а, следовательно, формулы (4.16) можно выразить через главные напряжения: J1(Тσ)=σ1 +σ2+σ3 J2(Тσ)=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 (4.17) J3(Тσ)=σ1σ2σ3
Рассмотрим частный случай, когда σx=τxy=τzx=0 (рис. 4.5). В таком случае инварианты тензора напряжений (4.16) будут равны: (**)
Кубическое уравнение (4.15) с учетом (**) преобразуется в квадратное уравнение: σ2 – J1(Тσ)σ + J2(Тσ)=0 (4.19)
Найдем корни квадратного уравнения (4.19): (4.20)
После подстановки значений первого и второго инвариантов (4.18) в формулу (4.20) и выполнения элементарных преобразований получим: (4.21)
Формула (4.20) применяется при определении главных напряжений при плоском напряженном состоянии. В случае если нормальные напряжения σy=0, значения главных напряжений (4.22) Теперь определим положение главных площадок. Рассмотрим равновесие выделенного элемента (рис.4.7), с действующими на него главными напряжениями σ1,2 и напряжениями на исходных площадках. Спроектируем все силы на ось у получим: σ1,2dFsinα1,2 +τzydFz–σydFy=0 Разделив на dFsinα1,2 последнее равенство, получим: , (4.23) или в частности, когда σy=0: (4.24) Формулы (4.24) и (4.25) используются для определения положения главных площадок при плоском напряженном состоянии. Положительный угол α1,2 откладывается от положительного направления оси z против хода часовой стрелки. При этом должно выполняться условие ортогональности главных площадок: сумма модулей углов α1, α2 должно равняться 90об т. е.: Это указывает на то, что главные площадки, как и исходные площадки взаимно перпендикулярны между собой.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1113)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |