Элементы линейной алгебры. 51 – 60. Дана система линейных уравнений

 

51 – 60. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решитьтремя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.

 

61 – 70. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.

 

71 – 80. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³ + z = 0.

 

71.		72.		73.
74.		75.		76.
77.		78.		79.
80.

 

Введение в математический анализ

 

81 - 85. Построить график функции преобразованием графика функции .

81.		82.
83.		84.
85.

 

86 - 90. Построить график функции преобразованием графика функции .

 

86.		87.
88.		89.
90.

 

91 – 100. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

91. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

92. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

93. a) ; б) ;

в) ; г) ; д).

 

94. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

95. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

96. a) ; б) .

в) ; г) ; д) .

 

97. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

98. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

99. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

100. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

101 – 110. Задана функция y = f(x) и два значения аргумента x₁ и x₂. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

 

101. , x₁ = 0, x₂ = –3.

102. , x₁ = 0, x₂ = 2.

103. , x₁ = 2, x₂ = 4.

104. , x₁ = 1, x₂ = –1.

105. , x₁ =4, x₂ = 6.

106. , x₁ = 1, x₂ = 3.

107. , x₁ = 2, x₂ = 4.

108. , x₁ = 1, x₂ = –1.

109. , x₁ = 2, x₂ = 4.

110. , x₁ = 1, x₂ = 3.

 

111 - 120. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

111. ; 112. ;

 

113. ; 114. ;

 

115. ; 116. ;

 

117. ; 118. ;

 

119. ; 120. .

 

4. Производная и еЁ приложения

 

121 - 130. Найти производные данных функций.

121.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
122.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
123.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
124.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
125.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
126.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
127.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
128.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
129.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
130.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .

 

131 - 140. Найти для заданных функций:

а), б) ; в) , .

131.	а) ;	б) ;	в)
132.	а) ;	б)	в) .
133.	а) ;	б) ;	в) .
134.	а) ;	б) ;	в) .
135.	а) ;	б) ;	в) .
136.	а) ;	б) ;	в) .
137.	а) ;	б) ;	в) .
138.	а) ;	б) ;	в) .
139.	а) ;	б) ;	в) .
140.	а) ;	б) ;	в) .

 

141 – 150. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a;b].

 

141. ; [0; 2]. 142. ; [–2; 1].

143. . 144. .

145. ; [–1; 1]. 146. ; [–1; 0].

147. ; [–1; 1]. 148. ; [0; 1].

149. ; [–1; 2]. 150. ; [–2; 0].

 

5. Приложения дифференциального

Исчисления

 

151 – 160. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя полученные результаты, построить её график.

 

151. . 152. .

153. . 154. .

155. . 156. .

157. . 158. .

159. . 160. .

 

6. Дифференциальное исчисление функций

Нескольких переменных

 

161 – 170. Найти а) ; б) .

161.	a) ,	б) .
162.	а) ,	б) .
163.	а) ;	б) .
164.	а) ;	б) .
165.	а) ;	б) .
166.	а) ;	б) .
167.	а) ;	б) .
168.	а) ;	б) .
169.	а) ;	б) .
170.	а) ;	б) .

 

171 – 180. Дана функция .

Показать, что .

 

171. .

 

172. .

 

173. .

 

174. .

 

175. .

 

176. .

 

177. .

 

178. .

179. .

 

180. .

 

181 – 190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

 

181. ;

182.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

189.

190.

191 – 200. Даны функция , точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора .

191.

192.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200.

 

 

7. НеопределЁнный и определЁнный

Интегралы

 

201 – 210. Найти неопределенные интегралы. В пп. «а» и «б» результаты проверить дифференцированием.

 

201.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
202.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
203.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
204.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
205.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
206.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
207.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
208.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
209.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
210.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .

 

211 – 220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

211.	а) ;	б). .
212.	а) ;	б). .
213.	а) ;	б). .
214.	а) ;	б). .
215.	а) ;	б). .
216.	а) ;	б). .
217.	а) ;	б). .
218.	а) ;	б). .
219.	а) ;	. б). .
220.	а) ;	б). .

 

221. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

222. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

223. Найти длину дуги данной линии

.

224. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой , x = –1, y = 0.

225. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

226. Вычислить длину дуги данной линии

.

227. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг Oх кривой , x = 0, y = 1.

228. Найти длину кардиоиды .

229. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной парабалами

230. Найти длину дуги полукубической парабалы , концами которой являются точки с абсциссами и .