Использование свойства монотонности функций
Разновидности функционально-графического метода решения логарифмических уравнений Цель: ·повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений (потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический); ·расширить представления учащихся о функционально-графическом методе решения логарифмических уравнений; ·акцентировать внимание учащихся, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод; ·формирование у учащихся умений: сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы; ·усиление прикладной направленности курса алгебры и начала анализа. Пояснительная записка Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе “Алгебра и начала анализа 11” автора А.Г.Мордковича. Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений. I. Актуализация знаний учащихся. На последних уроках вы изучали очень сложную тему “Логарифмы”. Что вы уже знаете по этой теме: 1) определение логарифма, 2) свойства логарифмов, 3) логарифмическая функция, 4) логарифмические уравнения, 5) методы решения логарифмических уравнений. Найдите блок “Блиц опрос” на рабочих листах. Блок “ Блиц опрос”. 1)Вычислить значение выражения. а) log5 75 - log5 3, б) log3 6 + log3 1,5. 2) Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение а) log3 (12 – х), б) log6 (х2 + 12). 3) Сопоставить функцию и график. (Приложение 1. Рис.1,2,3,4) Среди перечисленных функций найти: А) ограниченную и снизу, и сверху; Б) монотонно возрастающую. 5) Решите уравнения. Аристотель говорил , что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом. Звучит музыка. (Историческая справка) Вы знаете - открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах “Пифагора-Архита”. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей. В основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – . является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы. И этим практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство. Давайте в этом убедимся Найдите на рабочем листе блок “Звукоизоляция”. С помощью этой формулы можно рассчитать коэффициент звукоизоляции. D – коэффициент звукоизоляции. р0 – давление звука до поглощения р – давление звука, прошедшего через стену A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ Если коэффициент звукоизоляции D=20дБ, то т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D=50дБ. Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический. Мы работаем с блоком №III. Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений. Приложение 1. Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму (Приложение 1.Рис.5). Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.
Слайд “Функционально-графический метод решения” (3 разновидности) 1. Использование графических иллюстраций(Приложение 1. Рис.6). Пример. (обратить внимание на несовершенность этого способа) Проверка: Ответ: 4, 16. Использование свойства монотонности функций. Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора. Пример. log5 (5x – 4)=1–х y=log5 (5x – 4) функция возрастает при x > log5 4, y = 1 – x функция убывает при любом x. Если x = 1, то log5 (5 – 4) = 1 – 1, 0=0. Ответ: 1. 3. Использование ограниченности функций.Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f(x) равно А и наименьшее значение другой y = g(x) равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений
Пример. log3 ((2x-5)2+9) = 2-sin26 x Оценим левую часть уравнения (2х-5)2+9 9 В силу возрастания функции y=log t имеем log ((2x-5)2+9) 2. Оценим правую часть уравнения 0 sin26 x 1, -1 -sin26 x 0, 1 2-sin26 x 2. Получим
log3 ((2x-5)2+9)=2, (2x-5)2=0, х=2,5. Проверка: 2-sin2 62.5=2, 2-sin215 =2, 2=2 – верно. Ответ: 2,5. Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку рабочего листа “Самостоятельная работа”. Эти уравнения мы будем решать одним из способов функционально-графического метода. На решение уравнения отводится 3 минуты. Давайте обсудим способ решения каждого уравнения. Номер задания соответствует номеру группы. I группа……… II…. 1.3x=10-log2x 2.log5x= 3.log2((x-2)2+4)=2-sin25 x 4.log3x=-|x-1| 5.log0,2(2x-1)=2x2-x-16 6.log5((4x-5)2+25)=2-sin28 x Проверить 1, 2 группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома. Домашнее задание. А желающие могут решить уравнение повышенного уровня сложности:
Задача: Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича? 1. 3х=10-log2x y=3x возрастает на (0;+ ), y=10-log2x убывает на (0;+ ). Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что При х=2, получим 32=10-log22? 9=9 – верно. Ответ: 2 2. log5x = y= log5x, D(y):x>0. y= , D(y):x 0. x=5. Ответ: 5 Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения. 3. log2 ((x-2)2+4)=2-sin25 x. у= log2 ((x-2)2+4). Оценим (x-2)2+4, т.к. (x-2)2 0, то (x-2)2+4 4, в силу возрастания функции у= log2 t, имеем log2 ((x-2)2+4) 2;
x=2 2-sin210 =2, 2=2. Ответ: 2 4. Пример (Приложение1.Рис.7). log3x=-|х-1| y= log3x, D(y)=(0;+ ). y=-|x-1| x=1 . Проверкой убеждаемся, что х=1 является корнем уравнения. Ответ: 1. 5. log0.2 (2x-1)=2x2-x-16, ОДЗ: 2x-1>0, 2x>1, x> . Функция y= log0.2 (2x-1) – убывает на ( ;+ ). Рис.7 Функция y=2x2-x-16 – возрастает на ( ;+ ). Т.к. x0= – вершина параболы и < . Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что если х=3, то log0.2 (2*3-1)=2*32-3-16, log0.25=-1, -1=-1. Ответ: 3. 6. log5((4x-5)2+25)=2-sin28 x. Оценим левую часть уравнения. (4x-5)2 0, (4x-5)2+25 25. Учитывая, что у=log5t возрастает, имеем log5((4x-5)2+25) 2 Оценим правую часть. -1 - sin28 x 0, 1 2- sin28 x 2. Приходим к системе
Решаем одно из уравнений системы. log5 ((4x-5)2+25)=2, (4x-5)2+25=25, 4x-5=0, х=1,25. При х=1,25 другое уравнение обращается в верное равенство. Ответ: 1,25. Итог. Мы сегодня разобрали детально 3 разновидности функционально-графического метода. Надеюсь, что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ. 2008 год по инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи. Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А обоснованы ли эти опасения, ответят математики. Предлагаю решить вам следующую задачу. Задача.Число людей в нашей стране ежегодно уменьшается на часть. Через сколько лет население уменьшится в 10 раз, если демографическая ситуация не изменится? Решение. Пусть через х лет число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим уравнение: С вычислением десятичного логарифма вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5.Если при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома. Ответ: примерно 476 лет. Ребята, а вы знаете, что сейчас в стране ?140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в России. Это всего лишь население двух таких крупных городов, как Москва. Статисты утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь 3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках. Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (760)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |