Математическая модель ЦАП
ЦАП предназначен для преобразования числа представленного в виде двоичного кода на выходе ЦВМ, в эквивалентный аналоговый сигнал, представляющий собой электрическое напряжение (или ток). Процесс преобразования включает в себя два этапа: преобразование числового кода в дискретные моменты времени в квантованный по уровню импульсный сигнал, а затем преобразование импульсного сигнала в непрерывный кусочно-постоянный сигнал. Квантование сигнала по уровню осуществляется в соответствии со статистической характеристикой ЦАП, изображенной на структурной схеме рис. 1 и представленной на рис. 3.
Рис. 3 Здесь для удобства по оси абсцисс отложен сигнал с выхода ЦВМ в десятичной системе счисления, а по оси ординат – величина , представляющая собой дискретное напряжение ЦАП. Единица младшего разряда выходной величины зависит от количества разрядов преобразователя: , (4)
где – максимальное значение выходной величины ЦАП. В соответствии с характеристикой рис. 3 справедлива зависимость . Для осредненной характеристики ЦАП, показанной на рис. 3 пунктирной линией, коэффициент передачи равен . (5) Тогда можно записать , (6) где – ошибка квантования по уровню, которая не превышает по модулю значения . На выходе ЦАП сигнал экстраполируется кусочно-постоянным сигналом при , , (7) вид которого приведен на рис. 4. На рис. 1 формирование сигнала (7) осуществляется с помощью идеального импульсного элемента, представленного ключом, и передаточной функции фиксатора нулевого порядка .
Рис. 4
Оценка точности ЦАС Рассмотрим дискретную модель цифровой САУ с учетом квантования по уровню ЦАП, которую можно представить в виде (8) где (9) статическая характеристика ЦАП (рис. 5) с ограниченным числом уровней , зависящим от числа двоичных разрядов преобразователя (без учета знакового разряда), при этом число определяется по заданному диапазону и цене младшего разряда : . Здесь – целая часть числа, заключенного в фигурные скобки. Введем в рассмотрение шум квантования по уровню: , . (10) Тогда систему (8) с учетом закона управления , где , можно представить в виде (11) где – матрица замкнутой системы, у которой собственные значения и являются различными; . Найдем установившийся режим системы (11) при отсутствии шума квантования по уровню, полагая при . Из уравнения (11) после подстановки получим . Перепишем уравнение (11) в отклонении от установившегося режима полагая : . (12) Найдем верхнюю оценку области изменения вектора в установившемся режиме при . Для этого с помощью преобразования , приведем систему (12) к виду , (13) где , . Матрица находится с помощью матрицы управляемости: , где матрица управляемости, а матрица невырожденная по построению. Покажем, что если вектор принадлежит области , (14) то при любом . Действительно, уравнению (13) соответствуют уравнения , (15) из которых при с учетом следуют неравенства , т.е. выполняется условие . Аналогично показывается, что и т.д., что и требовалось доказать. При произвольных начальных условиях для уравнений (15) справедливы решения , , для которых выполняются неравенства: , . Отсюда следует, что при , , с учетом равенства выполняется условие . С помощью обратного преобразования и обозначения получим область . (16) Таким образом, область (16) является оценкой сверху области изменения вектора в установившемся режиме, которая характеризует точность ЦАС и является более точной по сравнению с аналогичной оценкой, полученной с использованием функций Ляпунова. Отметим, что оценка (16) справедлива как при устойчивой, так и при неустойчивой разомкнутой системе (8). При этом даже в случае устойчивости разомкнутой системы в замкнутой системе (11) могут присутствуют автоколебания относительно установившегося режима . Если разомкнутая система неустойчива, то в замкнутой системе возникают незатухающие колебания, имеющие "квазислучайный" характер. Это связано с тем, что характеристика квантования по уровню в ЦАС имеет зону нечувствительности, и когда процесс попадает в нее, система размыкается, и в силу неустойчивости разомкнутой системы процесс стремится выйти из зоны нечувствительности. В случае устойчивой разомкнутой системы или находящейся на границе устойчивости, оценка (16) для системы (8) может быть завышенной, т.к. в замкнутой системе могут отсутствовать автоколебания. При этом процесс стремится к положению равновесия , если разомкнутая система устойчива, или к отрезку покоя, соответствующему зоне нечувствительности характеристики , если находится на границе устойчивости.
Вопросы для самопроверки
1. В каких случаях в замкнутых ЦАС возникают незатухающие колебания? 2. За счет чего можно повысить точность ЦАС в установившемся режиме?
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (873)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |