Предполные классы двоичных функций
Определение: Предполным классом К называется неполный класс, при добавлении любой функции , которая не принадлежит ему, получается класс полный. Утверждение: Предполный класс является замкнутым. Доказательство: Допустим противное, что некоторый предполный класс К не замкнут: , тогда рассмотрим функцию
т.е. [ K,f ] не полный
Теорема: В классе булевых функций есть ровно пять предполных классов : . Доказательство: В начале покажем, что данные классы являются предполными, а затем покажем, что других предполных классов нет. 1) Рассмотрим . Данный класс содержит функции: поэтому класс Т0 не принадлехит классам Т1, S, М, L.
Рассмотрим произвольную , тогда не принадлежит ни одному из пяти классов Поста, следовательно по теореме Поста является полной, следовательно класс является предполным. 2) Рассмотрим Т1: Рассмотрим произвольную не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста является полной, следовательно предполный.
3) Рассмотрим S: Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов Поста, следовательно по теореме Поста является полной, следовательно предполный .
4) Рассмотрим : Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста система полна, следовательно предполный. 5) Рассмотрим L:
Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста система полна, следовательно предполная. Все перечисленные классы не полны по теореме Поста.
Покажем, что других предполных классов в нет. Допустим противное, что - предполный : , следовательно в данном классе :
в силу того, что класс - предполный, следовательно включение на рис.1 невозможно, т.к. если бы было наоборот, то рассмотрим , мы бы получили, что все функции системы сохраняют 0, поэтому полной система не является, следовательно не является предполным.
По этой же причине в классе должна быть, , должна быть , должна быть , должна быть , следовательно из этих включений следует, что система является полной, противоречие с предполнотой этой системы. Упражнения: Найдите определяющие выражения функций через суперпозиции функций системы. 1) 2) 3) 4) 5)
Определение: Полной системой бул. функций в замкнутом классе К является система функций, которая принадлежит данному классу, и замыкание которой совпадает с самим классом . Определение: Базисом в замкнутом классе К называют систему В, которая полна в этом классе, но любая собственная подсистема полной в классе не является.
Пример 1:Рассмотрим множество всех булевых функций Р2. В этом множестве рассмотрим систему .Эта система полна по т. Поста .
Чтобы определить,что все собственные подсистемы не полны, достаточно рассмотреть лишь максимальные по включению собственные подсистемы данной, получаемые из данной удалением какой-либо функции. Если ни одна из этих подсистем не является полной, то полной не является и любая другая собственная подсистема (докажите предыдущие утвеждения) В данном примере максимальные собственные подсистемы не полны, значит является базисом в Р2. Пример 2:Является ли система базисом в Р2? , поэтому система полна, но собственная подсистема также полна, поэтому данная система не базис в Р2.
Определение: Скажем, что функция f не зависима от системы , если эта функция не принадлежит замыканию системы : . Пример 1: Рассмотрим функцию и систему : Утверждаем, что не зависит от этой системы. Действительно, все функции системы являются линейными, поэтому в силу того, что суперпозиция линейных функций есть линейная функция, замыкание этой системы принадлежит классу линейных функций, а — функция не линейная. Поэтому не зависит от данной системы функций. Пример 2: Рассмотрим функцию и систему :
x1 x2 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
Значит, зависима от функции . Примечание: если функция не является независимой от системы, то будем называть ее зависимой от данной системы.
Утверждение: Если система функций базис в замкнутом классе К , то тогда каждая функция базиса независима от оставшихся. Доказательство: Предположим противное: пусть существует базис в котором некоторая функция является зависимой от оставшихся. Для определенности будем считать, что это поэтому выражается через некоторые суперпозиции функций системы , но тогда система также является полной в классе К, поэтому не является базисом. Утверждение доказано. Пример 1: базис в Р2
Упражнение:Докажите справедливость обратного утверждения: пусть полная система в К, и любая функция системы не зависит от оставшихся, тогда система – базис в К.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2454)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |