Преобразование координат (модели Г. Гельмерта, М.С. Молоденского и их разновидности)

Для перехода из одной системы координат в другую существует принципиально 2 типа преобразований:

- преобразование координат с использованием официальноопубликованных параметров трансформирования, называемых также глобальными методами преобразования, поскольку они задают алгоритм перехода между системами координат в целом, на всем пространстве действия этих СК, например, между WGS-84 и СК-95, ITRF и СК-95, ПЗ-90 и WGS-84 и т.д.;

-преобразование координат с использованием параметров трансформирования, вычисляемых с использованием ограниченного набора расположенных на локальной территории опорных пунктов, координаты которых известны в обеих этих СК, называемых также локальными методами преобразования, поскольку они задают алгоритм пересчета координат, действующий только в отношении локальной территории, на которой расположены опорные пункты.

Классическими трехмерными методами преобразования координат, применяемыми преимущественно для глобальных преобразований между пространственными трехмерными прямоугольными или эллипсоидальными (геодезическими) системами координат являются соответственно метод Гельмерта и метод Молоденского.

Преобразование из одной пространственной (трехмерной) системы прямоугольных координат X,Y,Z (СК-1) в другую пространственную систему прямоугольных координат (СК-2) по Гельмерту заключается в осуществлении трех операций:

- перенос начала СК1 в начало СК2 путем смещения по осям XYZ на величины T_X, T_Y, T_Z, соответствующие разности координат начал систем координат 1 и 2 (или, что аналогично, на величину значений координат конечной системы координат СК-2 в исходной СК-1);

- поворот вокруг каждой из осей координат на величины w_X, w_Y, w_Z,;

- масштабирование (введение множителя m, характеризующего изменение масштаба конечной СК-2 по отношению к масштабу начальной СК-1).

Таким образом, преобразование Гельмерта задается 7 вышеуказанными параметрами, из-за чего его нередко называют 7-параметрическим преобразованием, или Евклидовым преобразованием подобия, а входящие в него параметры трансформирования - параметрами Гельмерта.

Для 7-параметрическиого преобразования Гельмерта используется формула [2]

(0998)

где [X, Y, Z]_СК1 - координаты точки в исходной системе координат;

где, [X, Y, Z]_СК2 - координаты точки в конечной системе координат;

T_X, T_Y, T_Z - величины смещения начала системы координат 1 по соответствующим осям в начало системы координат СК2;

w_X, w_Y, w_Z - поворот вокруг каждой из осей системы координат;

m - масштабный коэффициент, учитывающий разномасштабность этих СК, его значение обычно <10^-6 и дается в единицах 6-го знака после запятой.

Метод Молоденского используется для преобразования между двумя пространственными системами геодезических координат B, L, H (т.е., исключая необходимость перехода к прямоугольным координатам XYZ).

Для преобразования координат по методу Молоденского используется формула [2]

. (5)

 

где:

здесь

,

,

,

.

Классический трехмерный метод(Classical 3D) осуществляют иногда в двух модификациях вычисления 7-параметрического преобразования: Бурша-Вольф (Bursa-Wolf ) и Молоденский-Бадекас (Molodensky-Badekas).

Разница модификаций заключается в том, что в преобразовании Бурша-Вольф центром вращения является начало исходной системы координат А и используется 7 вышеописанных параметров преобразования Гельмерта – КЛАССИКА.

а в модификации Молоденский-Бадекас центром вращения является «центр тяжести» (точка на участке работ, имеющая средние координаты) опорных пунктов в исходной системе координат А, поэтому в данной модификации классического трехмерного преобразования к 7 параметрам Гельмерта добавляются еще 3 параметра (координаты центра вращения X₀, Y₀, Z₀). В LGO это реализовано так

Параметры 3-D трансформирования Гельмерта (модификация Молоденского-Бадекаса)
Центр вращения	7-параметров Гельмерта
X0	dX
	dY
Y0	dZ
	wX
Z0	wY
	wZ
	m

 

 

Схема преобразований координат, привыполнении геодезических работ с использованием ГНСС-технологий приведена ниже

12. Свободное уравнивание, разновидности минимально-ограниченного уравнивания, ограниченное уравнивание, ограниченное уравнивание с одновременным оцениванием параметров трансформирования.

Порядок математической обработки спутниковых измерений:

Ø обработка ГНСС-измерений и вычисление базовых линий,

Ø вычисление невязок замкнутых фигур,

Ø оценка точности измерений по невязкам фигур,

Ø уравнивание сетей,

Ø оценка точности по результатам уравнивания

Средства математической обработки спутниковых измерений – специальное коммерческое ПО для обработки спутниковых измрений

Концепции уравнивания

В общем случае развитие ГГС путем ГНСС-измерений предполагает определение координат большого количества станций ограниченным количеством ГНСС-приемников.Выполненные в проекте наблюдения разделяются на сессии, состоящие из наблюдений на отдельных станциях (пунктах). Разработаны и используются следующие методики уравнивания спутниковых наблюдений:

· уравнивание наблюдений, выполненных на одной станции (для случая абсолютного (точечного) позиционирования);

· обработка одной базовой линии и последующее объединение базовых линий в сеть,

· объединенное уравнивание всех полученных наблюдений отдельной сессии (уравнивание наблюдений многих станций одной сессии), и

· объединение решений многих сессий в строгое всеобщее сетевое решение,

· объединение спутниковых и традиционных геодезических измерений.

Уравнивание одной станции (позиционирование точки, «однопунктовое» решение) обеспечивает абсолютные координаты станции в системе WGS-84 (или ПЗ-90). Если обрабатываются только кодовые измерения, то из-за низкой точности эти результаты обычно представляют малый интерес для геодезических применений, но они часто отвечают требованиям некоторых задач геофизики, ГИС и дистанционного зондирования. Типичная область этого применения – навигация.

Концепция одинарной базовой линии очень широко используется в программном обеспечении для обработки спутниковых данных. В совместном уравнивании обрабатываются наблюдения от двух одновременно работавших приемников, преимущественно в виде двойных разностей. Результатом являются компоненты вектора базовой линии и соответствующая ковариационная матрица K_XYZ.

Отдельные базовые линии используются как исходные данные в программе уравнивания сети. Обработка наблюдений в сети распадается на первичное уравнивание (решение базовых линий) и вторичное уравнивание (уравнивание векторов базовых линий).

Большинство производителей предлагают вместе с приемниками программы, которые используют концепцию базовых линий. Эти программы удобны для малых проектов, для полевой проверки данных и для применений в реальном времени.

В уравнивании многих станций одной сессии совместно обрабатываются все данные, которые наблюдались одновременно всеми участвующими в сессии приемниками. В этом случае результатами решения являются R-1 независимых векторов и ковариационная матрица размера 3(R-1)´ 3(R-1). В зависимости от имеющегося программного обеспечения, результаты можно также выдавать набором из 3R координат и ковариационной матрицы размером 3R´3R. Ковариационная матрица также является блочно-диагональной, в которой размер ненулевых диагональных блоков является функцией числа приемников R. Следовательно, это строгое уравнивание наблюдений с использованием всех взаимных стохастических соотношений. Для геодезических целей такое «многопунктовое» уравнивание имеет концептуальные преимущества над методом базовых линий, поскольку используется весь потенциал точности СРНС.

Несколько решений по сессиям можно объединять в уравнивание многих сессий или, более точно, в решение по многим станциям и многим сессиям. Это обычная методика, когда крупные сети разбиваются на части из-за ограниченного числа приемников. Основное условие в таком уравнивании состоит в том, что каждая сессия связывается хотя бы с одной другой сессией через одну или большее количество общих станций, на которых наблюдения выполнялись в обе сессии. Расширение числа общих станций повышает стабильность и надежность всей сети.

Объединение спутниковых и традиционных видов измерений необходимо для перехода от общеземных координат точек спутниковой сети к государственной референцной системе СК-95 и к Балтийской системе нормальных высот.

Уравнивание геодезических сетей, построенных с применением спутниковых технологий, является необходимым этапом технологии геодезических работ. Задачами уравнивания является:

· согласование совокупности всех измерений в сети,

· минимизация и фильтрация случайных ошибок измерений,

· выявление и отбраковка грубых измерений, исключение систематических ошибок,

· получение набора уравненных координат и соответствующих им элементов базовых линий с оценкой точности в виде ошибок или ковариационных матриц,

· трансформирование координат в требуемую координатную систему,

· преобразование геодезических высот в нормальные высоты над квазигеоидом.

Таким образом, главная цель уравнивания – повышение точности и представление результатов в необходимой системе координат с оценкой точности.

Различают свободное, минимально ограниченное и ограниченное (несвободное) уравнивание.

В свободном уравниваниинеизвестными считаются все пункты сети, и положение сети относительно геоцентра известно с той же точностью, что координаты начальной точки сети. В этом случае матрица коэффициентов системы уравнений поправок (матрица плана) и, следовательно, нормальная матрица будет иметь дефект ранга, равный трем. Однако использование аппарата псевдообращения матриц, применяемого в некоторых программах, позволяет провести уравнивание. Его результаты отражают внутреннюю точность сети, не деформированной ошибками исходных данных.

При фиксировании координат одного пункта получаем минимально ограниченное уравнивание, в котором нормальная матрица оказывается невырожденной. Для достижения значимого контроля векторная сеть не должна содержать векторы, концы которых не связаны, по крайней мере, с двумя станциями.

Свободное и минимально ограниченное уравнивание применяются для решения первых трех задач уравнивания (согласование совокупности всех измерений в сети, минимизация и фильтрация случайных ошибок измерений, выявление и отбраковка грубых измерений, исключение систематических ошибок измерений).

При фиксировании более чем трех координат - ограниченное уравнивание. В этом случае будут наложены дополнительные ограничения по отношению к минимально необходимым.

Ограниченное уравнивание выполняется после успешного выполнения минимально ограниченного уравнивания для включения вновь построенной сети в существующую сеть, в ее координатную систему, в том числе систему высот. Для этого новая сеть должна быть связана, по крайней мере, с двумя станциями существующей сети.

Особая проблема, - это совместное уравнивание спутниковых и обычных геодезических измерений. Суть ее в том, что традиционные геодезические измерения (измерения углов, нивелировки, астрономические определения и др.) выполняются с использованием уровня, то есть в качестве опорной поверхности используется геоид. Измерения базовых линий производятся в системе осей общеземного эллипсоида. Для корректного приведения данных к одной какой-либо системе необходимо знать высоты геоида над эллипсоидом с соответствующей точностью.

При ограниченном уравнивании в качестве дополнительных неизвестных в параметрические уравнения могут вставляться параметры связи между системами координат и высот.

Объединение спутниковых и традиционных измерений производится при ограниченном уравнивании. Математические модели для пространственных координат основаны на методе Гельмерта (локальное трансформирование по методу подобия координат в декартовых). В этом преобразовании масштабный коэффициент одинаков во всех направлениях, вследствие чего сохраняется форма сети, т.е. не искажаются углы, но длины линий и положения точек могут изменяться.