Какими свойствами должны обладать операторы, чтобы они изображали физические величины?

Квантовая физика

1. Гипотеза де Бройля

Гипотеза де Бройля заключается в том, что французский физик Луи де Бройль выдвинул идею приписать волновые свойства электрону. Проводя аналогию между квантом, де Бройль предположил, что движение электрона или какой-либо другой частицы, обладающей массой покоя, связано с волновым процессом.

Гипотеза де Бройля устанавливает, что движущейся частице, обладающей энергией E и импульсом p, соответствует волновой процесс, частота которого равна:

а длина волны:

где p - импульс движущейся частицы.

2. Физический смысл волновой функции. Плотность вероятности.

Физический смысл волновой функции. Величина |psi(x,y,z,t)|2dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).

Волновая функция системы невзаимодействующих частиц psi(r1,r2,...rn,t) связана с одночастичными волновыми функциями psii(ri,t) соотношением

psi(r1,r2,...rn,t) = psi1(r1,t)·psi2(r2,t)·...psin(rn,t).

Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины.

Какими свойствами должны обладать операторы, чтобы они изображали физические величины?

В квантовой механике используются линейные операторы, т.е. операторы, обладающие свойствами:

(15)

где , - произвольные функции, а - произвольная постоянная. Оператор физической величины должен обладать еще одним свойством: он должен быть эрмитовым (самосопряженным). По определению, оператор называется эрмитовым , если

, (16)

т.е. , где

-

матричный элемент оператора .

Покажем, что свойство эрмитовости обеспечивает вещественность среднего значения физической величины. С этой целью вычислим величину, комплексно сопряженную к величине (14):

(если оператор эрмитов, то и поэтому)

,

что и требовалось доказать. Здесь - оператор, транспонированный к оператору , определяемый равенством

где и - произвольные функции.

Часто используют обозначение: , оператор называется эрмитовосопряженным по отношению к оператору . Если оператор эрмитов, то .

В классической механике компоненты радиуса-вектора и вектора импульса частицы подчиняются коммутативному закону умножения. Например, . Проверим, выполняется ли этот закон для операторов физических величин. Вычисляем:

Значит,

.

Величина называется коммутатором операторов и . Если , то говорят, что операторы и коммутируют друг с другом.

Введём оператор отклонения физической величины от среднего значения (оператор абсолютной погрешности, или оператор флуктуации физической величины): .

Это эрмитовый оператор, если только оператор эрмитовый. Поскольку , то в качестве меры отклонения величины от среднего значения можно взять среднее квадратичное отклонение . Вычислим эту величину:

(17)

Как видим, среднее квадратичное отклонение всегда неотрицательно.

4. Оператор импульса в координатном представлении.

Оператор координаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на соответствующую координату, то есть.

.

(3.27)

В символической операторной форме записи этих операций имеют вид

.

(3.28)

Объединяя эти формулы, можно ввести векторный оператор , соответствующий радиусу-вектору в классической механике. Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой системе координат операторы . Поэтому

.

Оператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определим операторы проекций импульса, записав эти определения в символической операторной форме как

.

(3.30)

Все три формулы в (3.30) можно объединить в одну, введя векторный оператор импульса , который с учетом (3.30) запишется как

.

(3.31)

Здесь

.

5. Оператор энергии(гамильтониан)

Операторы энергий. Классическая формула связи кинетической энергии частицы с квадратом ее импульса

позволяет записать аналогичное соотношение между соответствующими операторами. Поэтому

.

(3.37)

Если частица движется в стационарном силовом поле, и ее потенциальная энергия определена в любой точке пространства, то оператор потенциальной энергии определяется как оператор умножения на функцию , то есть

.

(3.38)

Так как полная энергия частицы в классической механике есть сумма кинетической и потенциальной энергий, то в квантовой механике оператор полной энергии определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий. Поэтому

.

Раскрывая выражение для оператора квадрата импульса по формуле (3.33), запишем оператор полной энергии как

.

(3.39)

В классической механике полную энергию частицы, выраженную через ее координаты и импульс, называют функцией Гамильтона. Поэтому в квантовой механике оператор полной энергии называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом.

Гамильтониан является основным оператором квантовой механики, поскольку, выбирая конкретный вид гамильтониана, с учетом силового поля, действующего на частицу, мы формулируем на математическом языке все особенности квантовой системы. Поэтому и основное уравнение нерелятивистской квантовой механики - уравнение Шредингера (3.8) может быть записано в операторной форме

,

(3.40)

содержащей гамильтониан .

6. Что такое собственный функции и значения оператора физической величины?

Пусть A — некоторая физическая величина, характеризующая микрочастицу1. (1Напомним читателю, что пока речь идет о квантовых состояниях и физических величинах, характеризующих одну микрочастицу. Однако все основные выводы переносятся на системы, состоящие из произвольного числа микрочастиц.)

Как уже отмечалось, многократные измерения этой физической величины в произвольном квантовом состоянии будут давать, вообще говоря, различные значения. В квантовой механике возможные значения физической величины принято называть ее собственными значениями. Вся совокупность собственных значений называется спектром значений физической величины. Если собственные значения образуют дискретный набор, то говорят, что физическая величина имеет дискретный спектр значений (или, для краткости, просто “дискретный спектр”). В этом случае разность любых двух собственных значений имеет конечную величину. Если же собственные значения непрерывно заполняют некоторый интервал, то спектр физической величины называется непрерывным. Простейшим примером непрерывного спектра является спектр значений любой координаты частицы (скажем, координаты x). Наконец, встречаются ситуации, когда физическая величина обладает в одной области своих значений дискретным спектром, а в другой — непрерывным.

Результатами измерения физической величины являются ее собственные значения. Поэтому одна из основных задач квантовой механики состоит в нахождении спектра значений любой физической величины.