Динамика материальной точки
Краткая теория · Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки): , или , где – векторная сумма сил, действующих на материальную точку (равнодействующая всех сил); т – масса; – ускорение; N – число сил, действующих на точку. В проекциях на координатные оси: ; , , или ; , , где под знаком суммы стоят проекции сил , на соответствующие оси. · Импульс тела массой , движущегося со скоростью : . При скоростях , сравнимых со скоростью света в вакууме ( ), необходимо использовать формулы для релятивистского импульса: или , где Е – полная энергия частицы, равная сумме энергии покоя и кинетической энергии: . Полная энергия частицы и её импульс связаны следующей релятивистской формулой: . · Импульс силы: , где – промежуток времени, в течение которого действовала сила . · Второй закон Ньютона в импульсной форме: , или где – равнодействующая, – импульс тела, – изменение импульса за промежуток времени действия силы. · Третий закон Ньютона. Тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными противоположно вдоль одной прямой: , где – сила, с которой первое тело действует на второе, а – второе на первое. · Центр масс. Радиус-вектор центра масс равен , где – радиус-вектор точечной массы , – масса всей системы (тела). Координаты центра масс системы материальных точек: , , , где xi, yi;, zi – координаты i-й материальной точки. Закон всемирного тяготения , где γ – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояние между ними. Сила притяжения тела массой m к Земле (или другому небесному телу) массой M радиусом R на высоте h над поверхностью (сила тяжести): . Здесь γ – гравитационная постоянная, g – ускорение свободного падения на высоте h: . Сила тяжести на поверхности Земли: , где – ускорение свободного падения Вес тела, движущегося с ускорением : , где m – масса тела. Если ускорение тела направлено вертикально вверх, то вес ; а если вертикально вниз, то . Сила трения скольжения: , где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления. Сила упругости (закон Гука): , где k – коэффициент упругости (коэффициент жесткости); – абсолютная деформация. Относительная продольная деформация (или просто ) – это изменение длины тела по отношению к первоначальной длине (рис.2.1): . Механическое напряжение (нормальное механическое напряжение) σ – это сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела (сила приложена перпендикулярно сечению ): . Закон Гука в локальной (дифференциальной) форме: , где – относительная деформация; σ – механическое напряжение; – модуль Юнга материала. Давление – это сила F, приходящаяся на единицу площади S: . Плотность тела , где m – масса тела; V – его объём. Гидростатическое давление: , где ρ – плотность; g – ускорение свободного падения; h – глубина под свободной поверхностью жидкости. Выталкивающая (Архимедова) сила: , где ρ – плотность жидкости (газа); Vпогр. – объём погружённой части тела. Момент силы: , где l – плечо силы (кратчайшее расстояние от линии силы до оси вращения). Условие равновесия твёрдого тела равнодействующая всех сил равна нулю: ; сумма моментов всех сил относительно любой оси тоже равна нулю: . Примеры решения задач Пример 2.1.На автомобиль массой 1 тонна во время движения действует сила трения, равная 0.1 силы тяжести. Чему должна быть равна сила тяги автомобиля, чтобы автомобиль двигался: а) равномерно; б) равноускоренно с ускорением 2 м/с2?
Решение На рисунке 2.2 показаны силы, действующие на автомобиль: сила тяжести , сила реакции опоры , сила тяги и сила трения . Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: . В проекциях на ось OX: а) В случае а=0 получим: Fтяги=Fтр.= 0.1.mg; Fтяги=0.1.1000 кг.10 м/с2=1000 Н=1 кН. б) В случае а=2 м/с2 получим: Fтяги= Fтр.+ma.=0.1.mg.+ma.= m.(0.1.g.+a); Fтяги=1000 кг.(0.1.10 м/с2 +2 м/с2)=3000 Н=3 кН. Ответ: а) Fтяги=1 кН; б) Fтяги=3 кН. Законы сохранения Краткая теория Закон сохранения импульса: в замкнутой системе полный импульс сохраняется. Закон сохранения импульса справедлив и в случае, если внешние силы действуют на систему, но компенсируют друг друга: если , то (или ). где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему. Даже если равнодействующая внешних сил не равна нулю, но равна нулю её проекция на какую-либо ось, то проекция полного импульса системы на ту же ось сохраняется: если , то . Работа, совершаемая постоянной силой: , где – угол между направлениями векторов силы и перемещения . Работа, совершаемая переменной силой: , где интегрирование ведется вдоль траектории от точки 1 с радиус-вектором до точки 2 с радиус-вектором . Средняя мощность – работа за единицу времени: , где ΔА – работа, совершённая за время Δt. Мгновенная мощность – быстрота совершения работы: , или . Коэффициент полезного действия (КПД): . Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно: , или . Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести: , где h – высота тела над уровнем, принятым за начало отсчета. Эта формула справедлива при условии , где R – радиус Земли. Если это условие не соблюдается, то . Здесь – расстояние до центра планеты. Потенциальная энергия упруго деформированного тела: , где k – жёсткость (коэффициент упругости), x=Δl – абсолютная деформация (удлинение) тела. Закон сохранения энергии. Полная энергия замкнутой системы сохраняется: если , то , или , где Е1 – начальная полная энергия системы (сумма всех видов энергии: механической, внутренней, электромагнитной и т.д.); Е2 – конечная полная энергия системы. Закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, остаётся постоянной: если , то , или . При наличии диссипативных сил (силы трения, вязкости, силы неупругой деформации) закон сохранения (изменения) механической энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2: , Если есть любые внешние силы: . Примеры решения задач
Пример 3.1.Шарик массой m1=9 г, движущийся со скоростью , сталкивается с покоящимся шариком массой m2=16 г. После абсолютно упругого удара шарики разлетаются таким образом, что направления их скоростей составляют одинаковые углы с направлением скорости . Определить скорости и шариков после удара и угол β между векторами скоростей и . Решение По закону сохранения импульса (рис.3.1): . В проекциях на координатные оси: OX: (1) OY: (2) Из (2) следует: , (3) тогда (1) можно записать: (4) Удар абсолютно упругий, поэтому сохраняется полная механическая энергия: (5) Решая уравнение (5) совместно с (3), найдём скорости υ1 и υ2: ; ; . Расчёты: ; . Из (4) выразим cosα: ; . Тогда β=2α=1020. Ответ: υ1=4 м/с; υ2=2.25 м/с; β=1020.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (865)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |