Молекулярно-кинетическая теория

Краткая теория

Относительная молекулярная (атомная) масса – отношение массы молекулы (атома) данного вещества к массы атома углерода (изотопа ¹²С):

.

Моль– количество вещества, в котором содержится столько же молекул или атомов, сколько атомов содержится в 0.012 кг углерода ¹²С.

В одном моле любого вещества содержится одно и то же число молекул или атомов,которое называется числом (постоянной) Авогадро. Число Авогадро равно

Количество веществаν – число молей, равное отношению числа молекул N к числу Авогадро:

.

Молярная массаµ – масса одного моля вещества:

,

где – масса одной молекулы; – число Авогадро. Поскольку масса вещества – это произведение массы одной молекулы на их количество: , то количество вещества равно:

.

Относительная молекулярная масса вещества:

,

где n_i – число атомов i-го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; – относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

Связь молярной массы с относительной молекулярной массой:

.

Давление, производимое газом на стенки сосуда:

,

где n – концентрация молекул; – масса одной молекулы; – средняя квадратичная скорость молекул.

Концентрация молекул – число молекул в единице объёма:

.

Средняя квадратичная скорость (по определению):

,

где N – число молекул; суммирование происходит по всем молекулам. Или:

,

где – масса молекулы; – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура µ – молярная масса газа; – универсальная газовая постоянная.

 

Универсальная газовая постоянная равна

,

где k – постоянная Больцмана; – число Авогадро.

Уравнение состояния идеального газа (уравнениеМенделеева-Клапейрона:

, или ,

где m – масса газа; µ – его молярная масса; Т – термодинамическая температура; – количество вещества; R – универсальная газовая постоянная.

Термодинамическая температура (температура по шкале Кельвина):

,

где t – температура в градусах Цельсия.

Давление газа равно:

,

где k – постоянная Больцмана; n – концентрация молекул, Т термодинамическая температура.

Закон Дальтона. Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в смесь газов:

,

где – номер компоненты смеси; – её парциальное давление, то есть то давление, которое производил бы данный сорт газа, если бы только один занимал весь объём, равный полному объёму смеси; K – число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газов

,

где m_i –масса i-го компонента смеси; m – масса смеси.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

– для давления:

;

– для температуры:

,

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа.

Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы. На любую степень свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная

.

Число степеней свободы равно числу независимых координат, однозначно определяющих положение тела (или молекулы) в пространстве. Для одноатомных молекул , для двухатомных , для произвольных жёстких многоатомных – .

Средняя энергия одной молекулы, у которой степеней свободы, равна

.

Внутренняя энергия U идеального газа:

,

где i – число степеней свободы молекул газа.

Примеры решения задач

Пример 4.1.Определить линейные размеры атома железа и его массу. Плотность железа равна 7800 кг/м³, молярная масса равна 0.056 кг/моль.

Дано: ρ=7800 кг/м3 μ=0.056 кг/моль

Найти: d=? m0=?

Решение

Число атомов (молекул) в одном моле любого вещества равно числу Авогадро . Масса одного атома .

Для нахождения диаметра атома будем считать, что атомы в кристаллической решётке упакованы подобно шарикам (рис.4.1), то есть на один атом в среднем приходится объём, приблизительно равный . Тогда для плотности: . Отсюда . Вычисления:

; .

Ответ: ; .

Основы термодинамики

Краткая теория

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального одноатомного газа

,

где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Внутренняя энергия идеального газа равна:

, или

, или

,

где i – число степеней свободы молекул, равное 3 для одноатомного газа; 5 для двухатомного и 6 для многоатомного с нелинейными молекулами; R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме; – количество вещества ( число молей), m – масса газа, μ – его молярная масса, p – давление газа, V – его объём.

Уравнение состояния идеального газа (уравнениеМенделеева-Клапейрона:

, или ,

где m – масса газа; µ – его молярная масса; Т – термодинамическая температура; – количество вещества; R – универсальная газовая постоянная.

Уравнение изотермического процесса ( ):

, или .

Уравнение изохорического процесса ( ):

, или .

Уравнение изобарического процесса ( ):

, или .

Элементарная работа газа при увеличении объёма на равна:

,

где р – давление газа.

Работа газа при изменении объёма от V₁ до V₂:

.

При изобарном процессе работа равна .

Теплоемкость тела – это количество теплоты, необходимое для нагревания этого тела на один градус (кельвин):

.

Удельная теплоемкость – это количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на один градус:

.

Удельная теплоемкость – это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля вещества на один градус:

.

Связь между молярной (С) и удельной (с) теплоемкостями:

,

где μ – молярная масса.

Молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме:

,

где i – число степеней свободы молекул; R – универсальная газовая постоянная. Для одноатомных газов .

Молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении:

,

где i – число степеней свободы молекул; R – универсальная газовая постоянная. Для одноатомных газов .

Уравнение Майера:

.

Количество теплоты, поглощённой в процессах:

– нагревания ,

– плавления: ,

– парообразования ,

где – удельная теплоемкость тела, – удельная теплота плавления, r – удельная теплота парообразования, m – масса.

Количество теплоты, выделившейся в процессе сгорания топлива:

,

где – удельная теплота сгорания топлива, m – его масса.

Первый закон (первое начало) термодинамики: количество теплоты Q, сообщенное системе, идет на увеличение её внутренней энергии и совершение этой системой работы против внешних сил:

.

Первое начало термодинамики:

– для изохорного процесса ;

– для изобарного процесса: ;

– для изотермического процесса: ;

– для адиабатного процесса: .

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины:

,

где – полезная работа, совершаемая машиной; – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя; – количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно (рис.5.1), при заданных температурах нагревателя и охладителя , имеет максимальный КПД, не зависящий от природы рабочего тела:

.

Примеры решения задач

Дано: 1) P1=const T2=3T1 2) V2=const

Найти: Q1=?

Пример 5.1.Некоторое количество газа (криптон) нагрели при постоянном давлении. Температура газа при этом повысилась в 3 раза. Затем при изохорном охлаждении газ отдал количество теплоты 9 кДж; температура при этом понизилась в 2 раза. Какое количество теплоты было сообщено газу при изобарном процессе?

Решение

1) P₁=const. По первому закону термодинамики для процесса 1-2 (рис.5.2):

.

С учётом условия T₂=3T₁: ;

. (1)

2) V₂=const. При изохорном процессе работа не совершается: А₂=0. Тогда из первого закона термодинамики для процесса 2-3:

;

. (2)

Разделим почленно (1) на (2):

.

Отсюда .

Ответ: .

Электростатика

Краткая теория

· Закон сохранения заряда: в изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех частиц остается неизменной:

.

· Закон Кулона. Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов q₁ и q₂ прямо пропорциональна величине каждого заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

, или ,

где значение коэффициента k в СИ равно ; – электрическая постоянная, e – диэлектрическая проницаемость среды.

· Диэлектрическая проницаемость среды e показывает, во сколько раз взаимодействие зарядов в среде ослабляется по сравнению с вакуумом:

, или ,

где F – сила взаимодействия зарядов в среде, F₀ – в вакууме; E – напряжённость поля в среде, E₀ – в вакууме.

· Напряженность электрического поля равна силе, действующей на единичный точечный положительный пробный заряд q, помещенный в данную точку поля:

.

· Сила, действующая на точечный заряд q, помещенный в электрическое поле

.

· Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда

.

· Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R) E=0;

б) на поверхности сферы (r=R) ;

в) вне сферы (r>R) .

Здесь e – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

· Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей: напряженность результирующего электрического поля, создаваемого несколькими источниками в некоторой точке пространства, равна геометрической сумме напряженностей полей , созданных в данной точке каждым источником в отдельности, причем каждая составляющая не зависит от наличия остальных полей:

.

В случае двух электрических полей с напряженностями и модуль результирующего вектора напряженности (рис.6.1):

,

где a – угол между векторами и (рис.4.1).

· Поверхностная плотность заряда, распределенного по поверхности, есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности:

.

· Линейная плотность заряда, распределенного по нити, есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу её длины:

.

· Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью

,

где s – поверхностная плотность заряда.

· Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

· Потенциал электрического поляв данной точке равен отношению потенциальной энергии, которой обладает положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:

.

Иначе: потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность, к этому заряду:

.

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

· Работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из точки с потенциалом в точку с потенциалом :

.

Для однородного поля A=q∙E∙l∙cosa, где l – перемещение; a – угол между направлениями вектора и перемещения .

· Потенциал поля, созданного уединенным точечным зарядом на расстоянии от заряда, равен

.

· Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:

внутри сферы (r<R) ;

на поверхности сферы (r=R) ;

вне сферы (r>R) .

Здесь e – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

· Принцип суперпозиции: потенциал результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в данной точке каждым из зарядов:

.

· Энергия W взаимодействия системы N точечных зарядов q₁, q₂, ..., q_N определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

,

где – потенциал поля, создаваемого всеми (N–1) зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд q_i.

· Связь напряжённости и потенциала. В случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению

,

где j₁ и j₂ – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

· Электрическая емкость уединенного проводника

,

где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника.

· Электрическая ёмкость уединенной проводящей сферы радиусом R,находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε

.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость её от этого не изменяется.

· Емкость конденсатора определяется отношением модуля заряда q на одной обкладке к разности потенциалов U между обкладками:

.

· Электрическая емкость плоского конденсатора

,

где S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними; ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

· Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов в общем случае (N – число конденсаторов)

.

В случае двух конденсаторов .

В случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый

.

· Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов в общем случае

C=C₁+C₂+...+C_N.

В случае N одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый:

C=N∙C₁.

· Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал φ и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями:

.

· Энергия заряженного конденсатора

где С – электрическая емкость конденсатора, q – его заряд, U – разность потенциалов на его пластинах.

· Объемная плотность энергии – это энергия единицы объема:

.

· Объемная плотность энергии электростатического полянапряжённостью Е равна:

.

Примеры решения задач

Пример 6.1.Три одинаковых положительных заряда Q₁=Q₂=Q₃=1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (рис. 6.2). Какой отрицательный заряд Q₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение

Дано: Q1=Q2=Q3=1 нКл

Найти: Q4=?

Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях, поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например Q₁, находился в равновесии.

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

, (1)

где – силы, с которыми действуют на заряд Q₁ заряды Q₂, Q₃ и Q₄ соответственно; – равнодействующая сил и .

Так как силы и направлены по одной прямой, то из векторного равенства (1) следует равенство величин:

F₄=F. (2)

По теореме косинусов с учётом, что F₃=F₂, получим

,

где α=120⁰, так как треугольник – равносторонний. Тогда

(3)

Применяя закон Кулона и имея в виду, что Q₂=Q₃=Q₁, найдем

; (4)

Из (2), (3) и (4) получим

,

. (5)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

.

С учетом этого формула (5) примет вид:

.

Подставив сюда значение Q₁, получим Q₄=0,58нКл.

Ответ: Q₄=0,58нКл. Равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 6.2.Найти работу А поля по перемещению заряда Q=10 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 6.3). Точки находятся между двумя разноименно заряженными бесконечными параллельными плоскостями, расстояние l между которыми равно 3 см. Поверхностная плотность заряда плоскостей s=0,4 мкКл/м².

Дано: Q=10 нКл s=0,4 мкКл/м2 l=3 см

Найти: А=?

Решение

Возможны два способа решения задачи.

1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки 1 поля с потенциалом j₁ в точку 2поля с потенциалом j₂ найдем по формуле

A=Q(j₁–j₂). (1)

Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение

j₁–j₂=E∙l, (2)

где Е – напряженность поля; l – расстояние между эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями E=s/e₀. Подставив это выражение Е в формулу (2) с учётом (1), получим

.

2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд Q при его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле

A=F∙Dr∙cosa, (3)

где F – сила, действующая на заряд; Dr – модуль перемещения заряда Q из точки 1 в точку 2;a – угол между направлениями перемещения и силы. Сила равна

. (4)

Заметив, что Dr∙cosa=l, из (3) и (4) получим

. (5)

Оба решения приводят к одному и тому же результату. Подстановка:

.

Ответ: A=13,6мкДж.

Пример 6.3.Электрон со скоростью υ=1,83×10⁶ м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы иметь энергию E_i=13,6 эВ? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его.)

Дано: υ=1,83×106 м/с Ei=13,6 эВ

Найти: U=?

Решение

Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией , которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации E_i, т. е. W+ =E_i. Выразив в этой формуле W=e∙U и , получим e∙U+ =E_i. Отсюда

.

Электрон-вольт (эВ) – энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В:

1 эВ=1,6·10^-19 Дж.

Вычисления (здесь m=9.1^.10^-31 кг – масса электрона; е=1.6^.10^-19 – элементарный заряд, то есть модуль заряда электрона):

В.

Ответ: U=4.15 В.

Пример 6.4. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости С₁=С₂=С соединены в батарею последовательно и подключены источнику тока с электродвижущей силой ε. Как изменится разность потенциалов U₁ на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью =7?

Дано: С1=С2=С =7

Найти:

Решение

До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: U₁=U₂=ε/2. После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в ε раз:

.

Электроемкость С первого не изменилась, т. е. .

Так как источник тока не отключался, то общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе