Часть 2. Развитие представлений о числе и деятельности счета в дошкольном возрасте

Один из первых генезис понятия числа у детей проанализировал в своих работах Ж.Пиаже [15]. Он утверждал, что понятие числа является генетически заложенным врожденным образованием человека и развивается (созревает) окончательно к 11-12 годам. По мнению Ж.Пиаже, обучение не влияет на процесс развития (созревания) понятия числа, а ребенок сам развивает в себе это основополагающее логическое понятие.Число в исследованиях Ж.Пиаже определяется, а, следовательно, понимается ребенком, как кратное повторение логического числа единицы. В основе понятия числа заложены две доступные детям взаимосвязанные логические операции: классификация и сериация.

Изучив теорию Ж.Пиаже, А.М. Леушина выдвинула и методически обеспечила свою концепцию формирования понятия числа у детей дошкольного возраста [7]. Во многом разделяя взгляды Ж.Пиаже, А.М. Леушина утверждала, что понятие числа можно сформировать у детей к концу дошкольного возраста в процессе специально организованной образовательной работы.Она предложила систему по формированию понятия числа у детей дошкольного возраста, включающую в себя следующие основные направления:

1. Действия ребенка с множествами: группировка, операции с множествами.

2. Счет конкретных предметов.

3. Специальные упражнения по углублению и абстрагированию понятия числа: изучение состава чисел из единиц и двух меньших, установление взаимообратных отношений между смежными числами и т.д.

4. Вычислительная деятельность.

Концепция и методическая система А.М. Леушиной подверглась анализу со стороны отечественных психологов П.Я. Гальперина и Л.С. Георгиева. Они отметили следующие недостатки методики А.М. Леушиной по обучению счету и формированию понятия числа у дошкольников: числовая характеристика объектов рассматривается только в их непосредственном сравнении с числительными, дети не понимают особенностей установления числовых отношений в других деятельностях кроме счета [18].

П.Я. Гальперин и Л.С. Георгиев считают, что необходимо сформировать у детей понятие числа как отношение величины к единице измерения посредством измерительной деятельности. Они предложили разработать систему формирования понятия числа у детей дошкольного возраста на основе использования меры как основной характеристики числа.

Анализ проблемы генезиса числа проведенный В.В. Давыдовым показал, что пересчитывание предметов и измерение не являются единственной основой для введения понятия числа в методику обучения дошкольников математике [4]. В его исследовании предлагалось вводить число и счет внутри более широкой деятельности, называемой автором комплектованием и уравниванием. В.В. Давыдов утверждает, что в основе формирования числа посредством комплектования и уравнивания, счет и измерение выступают как производные от общего действия определения отношения целого к любой его части. В области отдельных объектов это действие приобретает форму пересчитывания (множество – целое, а отдельный элемент или группа элементов – часть), а в области непрерывных величин форму измерения (величина – целое, а мерка – часть).

Наиболее подробно методика по концепциям П.Я. Гальперина, Л.С. Георгиева, В.В. Давыдова разработана Т.В. Тарунтаевой [17]. Она ввела в методику формирования математических представлений у дошкольников обучение дошкольников измерительной деятельности и делению целого на равные части.

Заметный вклад в разработку проблемы формирования понятия числа внесла Г.А. Корнеева. Она выделила показатели сформированности понятия числа у детей к концу дошкольного возраста [6].

Многочисленные исследования (А. М. Леушина, Г. С. Костюк, В. В. Данилова [18] и др.) показали, что овладение детьми счетом осуществляется постепенно и проходит ряд этапов.

А. М. Леушина определила шесть этапов развития счетной деятельности у детей [7].

Первый этап (второй - третий год жизни) определяется как дочисловой. Дети знакомятся со структурой множества, выделяя элементы и составляя множества из различных предметов, сравнивают контрастные множества: много и один.

Второй этап (четвертый год жизни) также дочисловой. Дети учатся сравнивать смежные множества поэлементно накладыванием и прикладыванием. В результате этой деятельности дети должны научиться устанавливать равенство из неравенства.

Третий этап (пятый год жизни). Дети знакомятся с образованием числа. Характерные способы деятельности — сравнение смежных множеств, установление равенства из неравенства путем сосчитывания. Результат — итог счета, обозначенный числом.

Четвертый этап (шестой год жизни). На этом этапе происходит ознакомление детей с отношениями между смежными числами натурального ряда. Результат — понимание основного принципа натурального ряда: у каждого числа свое место, каждое последующее число на единицу больше предыдущего, и наоборот, каждое предыдущее — на единицу меньше последующего.

Пятый этап обучения счету соотносится с седьмым годом жизни. На этом этапе происходит понимание детьми счета группами. Результат — подведение детей к пониманию десятичной системы счисления.

Шестой этап (седьмой год жизни) связан с овладением детьми десятичной системой счисления. Осознанное понимание детьми десятичной системы происходит в период школьного обучения.

Одна из основных задач математического развития детей пятого года жизни состоит в формировании у них умения считать и на этой основе развитии представления о числе.

Счет как деятельность с конечными множествами включает следующие структурные компоненты: цель (выразить количество предметов числом), средства достижения (процесс счета, состоящий из ряда действий, отражающих степень освоения деятельности), результат (итоговое число).

Обучение счету в детском саду организуется путем сравнения двух множеств. Этопомогает подготовить детей к познанию отношений между числами.

С целью предупреждения ошибок у детей довольно длительный период обучения счету делят на два этапа [7], [20].

Цель первого этапа состоит в ознакомлении детей с назначением счета, обучении умению отвечать на вопрос «сколько?», называя при этом последнее при счете число.

В ходе упражнений педагог переводит детей от дочислового сравнения к сравнению с помощью чисел: «Кукол две, а мишек три. Кукол меньше, чем мишек. Число 2 меньше числа 3».

Воспитатель дает образец счета: считает слева на право правой рукой, дотрагиваясь до каждого предмета и одновременно с движением произнося числительное в сочетании с названием предмета. Дети делают вывод, что с добавлением предмета изменяется их количество и соответственно число. Равные количества обозначаются одинаковыми числами, а неравные множества – разными числами.

Дети так же знакомятся с практическим образованием последующего числа из предыдущего.

Цель второго этапа обучения счету состоит в формировании у детей счетных умений, знакомстве с образованием каждого следующего числа на основе добавления предмета к одному из сравниваемых множеств. Воспитатель предоставляет детям возможность считать самостоятельно. Необходимо показать детям, что у счета всегда есть цель, а сам процесс счета – средство для достижения цели.

В процессе обучения счету постоянно варьируются задания, оценивается равное и неравное количество предметов. При ознакомлении со счетом для каждого нового числа показывается способ его получения.

В ходе объяснения воспитатель знакомит детей с правилами счета (несколько измененными по сравнению с первым этапом методики):

- показывая рукой предметы, начиная от первого, одновременно следует называть последовательно числа,

- после называния числа, соответствующего последнему в ряду предмету, важно акцентировать внимание детей с помощью кругового движения рукой,

- числа называются четко, строго в порядке следования, а сами пересчитываемые предметыназывать следует лишь при подведении итога счета.

Обучение счету сопровождается беседами с детьми о назначении, применении счета в разных видах деятельности.

В старшем дошкольном возрасте расширяется диапазон счета до 10 (в некоторых программах до 20, 100).Формированию навыка счетной деятельности, обобщению представлений о числе способствуют упражнения в счете звуков и движений.

В процессе совершенствования счетной деятельности воспитатель должен обеспечить переход практических счетных действий детей в умственные. Для этого необходимо организовать поэтапное усложнение счетных операций постепенно подведя детей к счету «про себя».

В старшем дошкольном возрасте практикуется счет в разных направлениях (слева-направо, справа-налево, по кругу), а так же вводится счет мерок при измерении, а так же частей при делении целого на части.

Обучение отсчитыванию определенной части множества организуется с детьми среднего дошкольного возраста после того как они достаточно хорошо усвоили приемы сосчитывания. При отсчете объектов ребенок сам создает множество из большего по количеству множества по образцу или по заданному числу. По предложенному образцу (набор предметов, числовая фигура) отсчитывается такое же количество предметов. Отсчитывание по заданному числу предусматривает четко сформулированную инструкцию.

Одновременно с количественным счетом дошкольники овладевают и порядковым счетом. Эти два вида счета различаются по цели деятельности. Количественный счет дает возможность определить количество, мощность множества. Порядковый счет позволяет определить место предмета в ряду других. При этом счете не пересчитываются все предметы, а ведется счет только до того предмета, который интересует. Ознакомление с порядковым счетом начинается в группе пятого года жизни.

Дети учатся различать порядковые и количественные числительные, вопросы «сколько?», «который?» «какой?» правильно отвечать на них. Поэтому важно объяснить детям значение количественных и порядковых числительных. Воспитатель подчеркивает разницу при ответах на вопросы «сколько?» и «который?». Когда ставят вопрос «сколько?», хотят узнать общее количество предметов, а когда ставят вопрос «который?», то имеют в виду один предмет, хотят выяснить, на каком по счету месте он стоит среди других предметов.

Обращается внимание детей также на то, что для нахождения места в ряду следует всегда указать направление. В зависимости от этого порядковое число изменяется.

В старшем дошкольном возрасте у детей формируется представление о том, что считать можно не только отдельные предметы, но и группы предметов, т.е. о том, что основанием счета может быть не только единица. Вводится счет группами.

Дети должны усвоить что при счете группами итоговое число зависит от общего количества предметов в множестве и от количества предметов в каждой группе. Считая группы они устанавливают аналогию между счетом отдельных предметов в пределах 10 и счетом отдельных групп — десятками.

В результате целенаправленного обучения у детей формируются представления об обосновании чисел, отношениях между ними. Дети понимают, что число предметов не зависит от их величины, расстояния между ними, пространственного размещения.

С целью углубления понятия числа у детей старшего дошкольного возраста формируется представление о количественном составе числа из единиц и двух меньших чисел.

Необходимо разъяснить дошкольникам отношение числа к единице, т. е. подчеркнуть количество единиц в числе. При этом дети осознают, что все числа составляются из единиц, количество единиц в разных числах различно.

Для ознакомления с количественным составом чисел используется дидактический материал, в которых каждый элемент множества отличается от других элементов того же множества по форме, цвету, размеру, назначению. Однако материал подбирают так, чтобы можно было делать обобщение: всего четыре птички, пять овощей. При изучении количественного состава числа воспитатель подводит детей к пониманию единицы как отдельного элемента.

Сначала можно использовать однородный материал, каждый элемент которого отличается от других по размеру или цвету, а позже — предметы одного типа или класса. Воспитатель обращает внимание детей на количественный состав, предлагает называть все элементы множества. Например: «Сколько разных по размеру палочек нужно взять, чтобы составить группу из трех?»[7].

В дальнейшем дети сами составляют множества из разных предметов, определяют их состав.

В итоге дети усваивают, что число отражает соответствующее количество единиц.

К изучению состава числа из двух меньших чисел дети подводятся уже в процессе упражнений с множествами. Основной целью этих упражнений является понимание того, что число, так же как и множество, может быть образовано из частей, групп, других чисел, общее количество которых соответствует заданному множеству или числу.

Упражняясь, дети составляют множества в три, четыре, пять элементов из двух, а затем и трех частей, различающихся между собой цветом, формой, размером, пространственным расположением.

Упражнения в разложении чисел на два (три) меньших, обучение синтезированию меньших чисел в единое число служит подготовкой детей к усвоению арифметических действий, в которых мы всегда имеем дело самое меньшее с двумя числами.

Отношения между смежными числами — это точное понимание, на сколько одно число больше или меньше другого.

Опираясь на умения сопоставлять элементы сравниваемых множеств, дети должны научиться сначала практически из неравенства делать равенство и, наоборот, из равенства делать неравенство. Постепенно детей подводят к практическому установлению разностных отношений между смежными числами.

Эти взаимообратные отношения должны быть отражены в речи детей: «Восемь больше семи, поэтому если от восьми отнимем один, получится семь, будет поровну. Число восемь больше семи на один».

Эффективно использовать «запись» отношений между числами с помощью карточек с цифрами и знаками.

К концу дошкольного возраста необходимо подвести детей к пониманию взаимно-обратных отношений между числами: каждое натуральное число n больше последующего на единицу и, наоборот, каждое предыдущее число меньше последующего на единицу (n±1) — и тем самым к усвоению разностных отношений между смежными числами.

Дляуглубления представлений детей о взаимоотношениях между смежными числами и натуральном ряде чисел широко используется устный счет от любого числа в прямом и обратном порядке. Существует несколько вариантов его использования. Можно назвать (показать) число, а ребенок по договоренности называет одно последующее или одно предыдущее. Или педагог просит назвать не одно, а несколько чисел, например, три-четыре после названного или указанного числа, то в прямом, то в обратном порядке.

Детям можно предложить определить пропущенное число среди ряда называемых педагогом чисел в прямом и обратном порядке.

Еще одно задание – «Назови соседей». Воспитатель определяет число, а дети называют смежные с ним числа.

Значимым фактором математической подготовки является ознакомление их с цифрами. Желательно начинать эту работу в группе пятого года жизни [23]. К этому времени у детей уже сформированы знания о первых числах. Педагог постепенно подводит их к пониманию необходимости изображать числа на письме особыми знаками — цифрами. Дети считают конкретные множества, обозначают их числом, а воспитатель показывает им цифры, которыми они записываются. «Сколько игрушек на столе? Чтобы записать, сколько игрушек мы видим, я ставлю цифру. Вот она». Методика ознакомления с цифрами простая и конкретная: демонстрация цифры и анализ ее начертания, последующее ее узнавание, обведение указательным пальцем по контуру, выкладывание из палочек (полосок бумаги), лепка из пластилина, разучивание стихов о каждой цифре и др.

Дошкольников знакомят с каждой отдельной цифрой, соотнося ее с числом через действия с предметными множествами. Для этого воспитатель демонстрирует цифру, предлагая детям рассмотреть ее начертания; дети создают соответствующее множество, откладывая определенное количество предметов; обводят указательным пальцем правой руки по контуру цифры, усваивая ее начертания. Для закрепления приобретенных знаний используются разные дидактические игры типа «Поручение», «Магазин», а также упражнения: обозначить число, которое больше (меньше) на один, чем названное (следует показать цифру), и др.

При ознакомлении с цифрами широко используются специально сделанные карточки. В детском саду не обучают писать цифры, но очень важно, чтобы дети усвоили правильное направление движения руки при написании разных цифр. В качестве приемов на закрепление начертания цифр можно использовать вырезание, заштриховку и др.

Важным направлением в работе по углублению понятия числа у дошкольников является деление целого на части. Деление предмета на несколько равных частей дает возможность познать ряд закономерностей в величинах и числах, способствует формированию логического мышления, развитию умения находить причинно-следственные связи и т. п.

Процесс ознакомления детей с делением целого на части состоит из таких компонентов: деления множества на подмножества, практического деления предмета на части путем складывания, разрезания, на основе измерения и получения целого из частей, т. е. установления отношений части и целого.

Особое значение имеют упражнения в практическом делении целого предмета на равные части и на основе этого — осознание понятий «половина», «одна вторая», «четверть», «три четвертых» и т. д. Работа эта планируется в определенной последовательности и представляют собой систему, где каждое звено (конкретное занятие) тесно связано с предыдущим и последующим. Последовательность в обучении делению целого на части обоснована в работах Т. В. Тарунтаевой [17].

Первое занятие, посвященное ознакомлению с делением целого на части, направлено на создание условий для возникновения интереса у детей к делению, понимания ими практической необходимости этих действий. Для повышения заинтересованности и познавательной активности детей упражнениям часто придают игровой характер. Например, к кукле Наташе в гости пришла ее подруга, у них одно яблоко на двоих. Яблоко делится пополам. Закрепляются слова-понятия: «половина», «две части», «поровну». Далее детям предлагается самостоятельно поделить лист бумаги пополам, согнув и разрезав его.

На втором и третьем занятиях знания и умения детей закрепляются. Дети делят предмет (круг, полоску, ленту) на две равные части и из частей создают целое. Потом воспитатель показывает детям принцип деления целого предмета на четыре равные части, учит рассказывать о своих действиях и результате деления; показывает отношения между целым и частями (целое больше, чем часть; часть меньше, чем целое, половина больше, чем четверть).

На последующих занятиях знания детей уточняются и обобщаются. Дошкольники учатся делить на части не только разъединением, сгибанием, разрезанием, но и на основе измерения.

Воспитатель побуждает детей словесно описывать способ и результат деления. Дети устанавливают связь между действием и его результатом.

Знания о делении целого на части и сложении целого из частей, полученные детьми на занятиях по математике, закрепляются в изобразительной деятельности, конструировании и т. д. Понимание детьми отношения части и целого в дальнейшем будет использоваться при обучении их решению арифметических задач с использованием схем, моделей.