Синтез оптимального алгоритма управления

 

Получение уравнений вариационной задачи.

Введем вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)

 

,

где - пока неизвестная функция, называемая неопределенным множителем Лагранжа.

Рассматриваемая задача называется задачей Лагранжа.

l(t) – неопределенный множитель Лагранжа, Φ – функция Лагранжа.

 

Запишем уравнения Эйлера для функции (они называются уравнениями Эйлера – Лагранжа)

Решим совместно уравнения Эйлера – Лагранжа и уравнение связи. Это система трех уравнений для определения трех неизвестных x(t), u(t), l(t).

 

В итоге получаем систему уравнений

 

(3)

(4)

(5)

 

Здесь (3), (4) – уравнения Эйлера – Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта (5) (уравнение связи).

 

Отыскание решения уравнений вариационной задачи.

Уравнения (3) – (5) решаются в следующем порядке:

1) Выразим u(t) из (4):

Затем подставим его в (5).

При этом получается система уравнений

, (6)

 

с коэффициентами

a₁₁ = p – nb/2m = - 2500 ,

a₁₂ = b²/2m = 2303,67,

a₂₁ = 2q – n²/2m =90,

a₂₂ = nb/2m – p = 2500.

 

Получим систему уравнений:

 

 

2) Запишем систему (6) в матричной форме

 

, (7)

где

,

.

 

 

3) Запишем решение уравнения (7) в соответствии с формулой Коши в виде:

 

, (8)

 

где

– вектор начальных условий, а матричная экспонента определяется по формуле Лагранжа – Сильвестра

 

,

 

где l₁ , l₂ – собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица.

Найдем собственные числа матрицы А из условия . Получим:

,

,

.

Из системы следует, что для нахождения и необходимо знать начальные значения и .

(начальное положение объекта) задано, неизвестно.

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа l(t₀), входящего в (8) необходимо:

а) запишем (8) для момента времени t₁

или

,

, (9)

где e₁₁ , е₁₂ , е₂₁ , е₂₂ – элементы матрицы (числа):

 

б) определим l(t₀) из первого уравнения системы (9)

 

Получили, что

 

Решаем уравнение (7):

 

 

4) Решив уравнение (7), запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

 

- оптимальная траектория

- оптимальное управление

 

Анализ процессов в системе.

Анализ процессов при оптимальном режиме

Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики x°(t) , u°(t) на интервале tÎ[t₀,t₁]. Этот интервал разбивается на 10 частей и вычисляются значения x°(t) и u°(t) в этих точках.

 

0	0,3	6,494626438
0,0001	0,270404562	8,459784862
0,0002	0,258364199	10,97416542
0,0003	0,263097235	14,20100553
0,0004	0,284910945	18,34979658
0,0005	0,325221507	23,6898844
0,0006	0,386645946	30,56795564
0,0007	0,473172029	39,43054517
0,0008	0,590417162	50,85302582
0,0009	0,745993077	65,57696246
0,001	0,95	84,55825549

 

 

Полученные графики представлены на рисунках №1,2.

 

 

 

 

Анализ процессов при линейном изменении тока i(t)

Полагая, что ток изменяется линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния

 

x_Л(t) = kt + d ( i_Л(t) = kt + d),

 

(величины k , d найдем из условия прохождения i_Л(t) и u_Л(t) через заданные начальное и конечное значения)

 

x_Л(0) = d=0,3 , x_Л(0.001) = 0.001k + 0,3 = 0,95

 

x_Л(t) = 650 + 0,3

 

запишем на основе (1)

выражение для закона управления u_Л(t) , обеспечивающее такое линейное изменение

.

 

По полученным данным построим графики процессов x_Л(t), u_Л(t).