Расчет матрицы в Excel

Вычислим значение матрицы D при помощи Excel. (рис.7).

 

Рис.7. Вычисление матрицы D в Excel

Задание 3.

Условие задачи

Используя коэффициенты полученной матрицы D(задание 2) решить систему следующих нелинейных уравнений:

Задание выполнить в Excel и Mathcad.

Решение нелинейных уравнений в Mathcad.

Решение системы уравнений в Mathcad приведено на рис. 8.

Рис. 8. Решение системы уравнений с помощью Mathcad

Решение нелинейных уравнений в Excel.

Решим следующую систему линейных уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы D в Excel с применением последовательности операций линейной алгебры, а именно – с применением обратной матрицы (рис. 10).

 

Рис. 10. Решение системы нелинейных уравнений с помощью Excel

 

Выполнение заданий №2 и №3 позволяет оценить работу с матрицами в Mathcad и Excel. Вычисление матриц по формуле рационально проводить в Mathcad, так как при этом необходимо просто аналитически задать формулу. При работе c Excel, ввод одной общей формулы проводить неудобно, поэтому приходиться производить вычисления по действиям, что отнимает больше времени по сравнению с работой в Mathcad.

Задание №4

Условие задачи

С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения для следующих значений Построить график.

С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения для следующих значений Построить график. Записать уравнение полинома.

Провести 2 вида аппроксимации: степенной и логарифмической функции. Построить оба графика на одной координатной плоскости. В обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в Mathcad.

Выполним это задание для следующих точек:

Решение в Mathcad

Проведем кусочно-линейную интерполяцию с помощью функции «linterp» для заданных точек и определяем значение функции для указанных значений аргумента (рис. 11):

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	0,207	0,954	1,474	1,786	1,967	2,218

 

Рис.11. Кусочно-линейная интерполяция в Mathcad

 

Проведем полиномиальную интерполяцию с помощью функции «regress». Учитывая, что задано 10 точек, то полином должен быть 9-й степени. Построим его график, на котором отметим исходные точки (рис. 12). По графику можно убедиться, что полином проходит через все заданные точки.

Рис.12. Полиномиальная интерполяция в Mathcad

 

Используя функцию «polynom», определим для заданных точек значение функции (рис. 12):

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	0,218	1,07	1,473	1,795	1,981	1,859

 

Проведем с помощью Mathcad аппроксимацию для заданных точек с помощью степенной и линейной функции. Определим сумму квадратов отклонений для узловых точек (рис. 13):

Для степенной функции эта величина равна 43,684.

Для линейной функции эта величина равна 740,782.

Можно сделать вывод, что с помощью степенной функции мы получаем более точное приближение.

Рис.13. Аппроксимация точек в Mathcad

Построим на одной координатной плоскости графики аппроксимирующих функций (рис. 14).

 

Рис.14.Графики аппроксимирующих функций

Решение в Excel

Проведем аппроксимацию точек с помощью Excel. Для этого сначала заполним исходную таблицу точек и отметим эти точки на графике (рис. 15).

Рис. 15. Исходные точки для аппроксимации на графике

 

Вызовем контекстное меню для одной из точек на графике и выберем пункт «Добавить линию тренда…». Для начала проведем аппроксимацию с помощью степенной функции. Для этого в открывшемся диалоговом окне «Линия тренда» выберем «Степенная».

Аналогично добавим линию тренда на основе линейной функции. В настройках линий тренда выставим галочку «показывать уравнение на диаграмме». Результат представлен на рис.16. Получили следующие аппроксимирующие функции:

Для степенной функции:

y= 0,672x^2,014+2,072

Для линейной функции:

y= 8,884x- 20,35

 

Рис.16. Получение графиков функций аппроксимации

 

Определим сумму квадратов отклонений для полученных функций в узловых точках (рис. 17). Получим:

Для степенной функции эта величина равна 178,4447864.

Для линейной функции эта величина равна 740,78208.

Следовательно, аппроксимация набора данных степенной функции более точна, чем линейной функции.

 

Рис.17. Расчет в Excel суммы квадратов отклонений для аппроксимирующих функций

 

 

При выполнении аппроксимации в Mathcad и Excel получили, что Mathcad позволяет построить степенную аппроксимирующую функцию с возможностью задать уравнение степенной аппроксимирующей функции со свободным коэффициентом, что невозможно выполнить в Excel. Это указывает на недостатки Excel при выполнении подобных заданий.

 

Задание №5

Условие задачи

Найти экстремум функции двух переменных :

в Excel и Mathcad. Построить график двумерной поверхности в Excel и Mathcad.

Решение в Mathcad

Построим график двумерной поверхности в Mathcad (рис. 18)

Рис.18. Построение поверхности в Mathcad

 

По графику определяем, что функция z имеет только один экстремум - точку минимума. Воспользуемся функцией Minimize, за начальное приближение точки минимума возьмем ; . В качестве ограничений укажем интервалы для и . Получили решение . (рис. 19)

Рис.19.Нахождение минимальных значений с помощью Mathcad

 

Решение в Excel

Для выполнения сначала проведем табуляцию функции с шагом 1 на интервале по и (рис. 20).

Рис.20.Табулирование функции 2-х переменных в Excel

 

 

На основе полученной таблицы строим поверхность (рис. 21).

Рис.21. График функции 2-х переменных в Excel

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Excel и Mathcad позволяют рационально решать инженерные задачи, поставленные перед пользователем. В результате проведенной работы можно сделать вывод о преимуществе Mathcad над Excel при решении математических задач, которые были приведены в курсовой работе.

Mathcad является достаточно точной и продуманной программой. Большое количество адресов ячеек, которые приходится записывать при вводе формул, в Excel является одним из минусов этого пакета. Ведь в случае ошибки в записи формулы найти ее будет крайне трудно. В то время как Mathcad имеет простой пользовательский интерфейс, который позволяет решать задачи, опираясь лишь на простые математические знания.

Выполненная курсовая работа позволила закрепить уже имеющиеся знания об Excel и Mathcad, а также позволила узнать больше о возможностях этих пакетов программ. Кроме того, на основе практических знаний появилась возможность сказать о достоинствах и недостатках используемых, при решении задач, программ.