Определение мгновенных значений токов методом узловых потенциалов

 

По исходным данным (табл.1) вычисляем значения реактивных сопротивлений Х, действующие значения ЭДС Е и тока I_K источников питания:

= = = 10,62, Ом,

где ω = 2πf = 2∙3,14∙50 = 314 рад/c – угловая частота

= = = 5,31, Ом;

= = = 26,5, Ом;

= ω∙L₁ = 314∙60∙10^-3 = 18,84, Ом;

= ω∙L₂ = 314∙50∙10^-3 = 15,71, Ом;

= ω∙L₃ = 314∙100∙10^-3 = 31,4, Ом;

E₁ = = = 91,924, В;

E₂ = = =45,962, В;

I_K = = = 3,536, А.

Переходим к комплексным величинам:

E₁ = E₁e ^jψ₁ = 91,924e ^j215 = -75,3 - j52,725, В;

E₂ = E₂e ^jψ₂ = 45,962e ^–j60 = 22,981 - j39,804, В;

I_K = I_Ke ^jψ_K = 3,536e ^j50 = 2,273 + j2,709, А.

Рис.1.1. Мнемосхема

 

Зададимся условными направлениями токов в ветвях схемы.

Заземлим узел 1, тогда

φ₁ = 0,

φ₂ = E₂ = 45,962e ^–j60 =22,981 - j39,804, В.

Для узлов 3 и 4 , потенциалы которых неизвестны, составим систему уравнений:

-φ₁∙Y₃₁ - φ₂∙Y₃₂ + φ₃∙Y₃₃ - φ₄∙Y₃₄ = I_{уз 3}

-φ₁∙Y₄₁ - φ₂∙Y₄₂ - φ₃∙Y₄₃ + φ₄∙Y₄₄= I_{уз 4}

где φ₁, φ₂, φ_3, φ₄-потенциалы узлов 1, 2, 3, 4 соответственно; Y_33, Y₄₄ - узловые проводимости узлов 2 и 3 соответственно; Y_31, Y₃₂, Y₃₃ ,Y₃₄ , Y₄₁, Y₄₂ - проводимости ветвей, присоединенные к соответствующим узлам; I_{уз 3}, I_{уз 4} - расчётные узловые токи.

 

Y₃₁= , См;

Y₃₂ = = = 0,11, См;

,

I_{уз 3} = E₁∙Y₃₁ = (-75,3 - j52,725)∙(-j0,196)= -10,342 + j14,77, А;

I_{уз 4} = -I_K = 3,536e ^-j130 = -2,273 - j2,708, А.

Преобразуем систему уравнений к следующему виду:

φ₃∙Y₃₃ - φ₄∙Y₃₄ = I_{уз 3} + φ₂∙Y₃₂

- φ₃∙Y₄₃ + φ₄∙Y₄₄ = I_{уз 4} + φ₂∙Y₄₂

Подставляем в систему известные величины:

φ₃∙(0,122 - j0,268) - φ₄∙(0,011- j0,072)=-7,81+j10,39

-φ₃∙(0,011- j0,072) + φ₄∙(0,111 - j0,195)=-4,87-j9,52

Решая эту систему, получаем:

φ₃ =-42,925-j20,085=47,392e^-j155, В;

φ₄=10,855-j40,691=42,114e^-j75, В.

Найдём токи в ветвях:

I₆=I_K=2,273+j2,708=3,536e­^j50, A;

I₄=(φ₃ - φ₄)∙Y₄₃=((-42,925-j20,085)-( 10,855-j40,691))∙( 0,011-j0,072)=

=0,915+j4,106=4,206e^j77, A;

I₃=( φ₂ -φ₄)∙Y₄₂=((22,981 - j39,804)-( 10,855-j40,691))∙( 0,1 - j0,123)=

=1,324-j1,397=1,925e^-j47, A;

I₅=(φ₃ - φ₂)∙Y₃₂=((-42,925-j20,085)-( 22,981 - j39,804))∙0,11=

=-7,323+j2,191=7,644e^j163, A;

I₁=I₃-I₅=(1,324-j1,397)-( -7,323+j2,191)=8,676-j3,641=9,409e^j157, A;

I₂=( φ₁- φ₃+ E₁)∙Y₃₁=(0-(-42,925-j20,085)+( -75,3 - j52,725))∙(-j0,196)=

=-6,403+j6,351=9,018e^-j45, A.

Выполним проверку расчёта по первому закону Кирхгофа для узла 1:

I₆₍₁₎ = I₁ + I₂ = (8,676-j3,641) + (-6,403+j6,351) = 2,273+j2,71, А;

Найденное значение I₆₍₂₎ = 2,273 + j2,708, А.

= = 0 %

= = 0,07 %

Выполним проверку расчёта по первому закону Кирхгофа для узла 3:

I₅₍₁₎ = I₂ - I₄ =(-6,403+j6,351)-( 0,915+j4,106)=-7,318+j2,245, А;

Найденное значение I₅₍₂₎ =-7,323+j2,191, А.

= = 0,07 %

= = 2,4 %

Выполним проверку расчёта по первому закону Кирхгофа для узла 4:

I₆₍₁₎ = I₄ + I₃ =(0,915+j4,106)+( 1,324-j1,397) = 2,239+j2,709, А;

Найденное значение I₆₍₂₎ = 2,273 + j2,708, А.

= = 1,5 %

= = 0,04 %

Погрешность не превышает 5%, следовательно, расчёт выполнен верно.

Перейдем от комплексов токов к их мгновенным значениям:

i₁(t) = I₁∙ sin(314t + ψ₁) = 13,306∙sin(314t +157° ), A;

i₂(t) = I₂∙ sin(314t + ψ₂) = 12,753∙sin(314t -45° ), A;

i₃(t) = I₃∙ sin(314t + ψ₃) = 2,722∙sin(314t -47° ), A;

i₄(t) = I₄∙ sin(314t + ψ₄) = 5,948∙sin(314t +77° ), A;

i₅(t) = I₅∙ sin(314t + ψ₅) = 10,81∙sin(314t +163° ), A;

i₆(t) = I₆∙ sin(314t + ψ₆) = 5∙sin(314t + 50° ), A.

Таким образом, определены мгновенные значения токов методом узловых потенциалов.

 

1.2. Построение совмещенной векторно-топографической диаграммы напряжений и токов

 

Для построения совмещенной векторно-топографической диаграммы определим значения потенциалов в промежуточных точках (рис.1.1):

φ₅=φ₄-I₆∙R₄=(10,855-j40,691)-( 2,273 + j2,708)∙8=-7,329-j62,355 =62,78e^-j97,В

φ₆=φ₁-I₂∙jX_L2=0-(-6,403+j6,351)∙j15,71=99,761+j100,578=141,663e^j45, В;

φ₇=φ₆+ I₂∙jX_С1=(99,761+j100,578)+(-6,403+j6,351)∙j10,62=

=32,377+j32,642=45,976e^j45, В;

φ₈=φ₃-I­₄∙R₁=(-42,925-j20,085)-(0,915+j4,106)∙2=-44,755-j28,297=

=52,95e^-j148, В;

φ₉=φ₈-I₄∙jX_L1=(-44,755-j28,297)-(0,915+j4,106)∙j18,84=32,643-j45,545=

=56,035e^-j54, В;

φ₁₀=φ₂-I₃∙jX_L3=(22,981-j39,804)-(1,324-j1,397)∙31,4=-20,907-j81,4=

=84,041e^-j104, В;

φ₁₁=φ₄+I₃∙R₃=(10,855-j40,691)+(1,324-j1,397)∙4 =16,15-j46,279=

=49,016e^-j71, В.

Построим совмещенную векторно-топографическую диаграмму в масштабе μ_φ = 10 В/см и μ_I = 1 А/см.

 

 

Рис.1.2. Векторно-топографическая диаграмма токов и напряжений

 

 

1.3. Проверка энергетического баланса мощностей и определение режимов работы источников электрической энергии

 

Для записи баланса мощностей необходимы найденные комплексы всех токов, их подставляем в формулы для мощностей источников и приемников.

Выражение для баланса имеет вид:

 

E₁∙I^*₂+E₂∙I^*₁-I^*₆∙U₅₁=I^*₂∙I₂∙(jX_L2-jX_C1)+I^*₃∙I₃∙(R₃+jX_L3-jX_C3)+I^*₄∙I₄∙(R₁+jX_L1-

-jX_C2)+I^*₅∙I₅∙R₂- I^*₆∙I₆∙(R₄);

U₅₁= φ₅- φ₁=-7,329-j62,355 =62,78e^-j97, В;

E₁∙I^*₂+E₂∙I^*₁-I^*₆∙U₅₁=(147,29+j815,83)+(344,31-j261,66)-(-185,52-j121,88)=

=677,12+j676,05;

I^*₂∙I₂∙(jX_L2-jX_C1)+I^*₃∙I₃∙(R₃+jX_L3-jX_C3)+I^*₄∙I₄∙(R₁+jX_L1-jX_C2)+I^*₅∙I₅∙R₂++I^*₆∙I₆∙R₄=j413,98+(14,82+j18,04)+(35,39+j239,43)+525,84+99,99=

=676,04+j671,45;

=0,15%;

=0,68%;

 

Погрешность не превышает 5%, следовательно, расчёт выполнен верно.

Для характеристики режимов работы источников электрической энергии необходимо составить произведения:

 

E₁∙I^*₂ =(-75,3 - j52,725)∙(-6,403-j6,351)=147,28+j815,83;

E₂∙I^*₁=(22,981 - j39,804)∙( 8,676+j3,641)=344,31-j261,66;

I_K∙U₅₁=(2,273+j2,708)∙( -7,329-j62,355)=152,19-j161,57;

 

откуда по знакам активных мощностей видно, что оба источника ЭДС и источник тока работают в режиме генератора электрической энергии.

1.4.Определение показаний ваттметра электродинамической системы

 

Для вычисления показаний ваттметра необходимо знать напряжение на зажимах его обмотки напряжения, ток через токовую обмотку и угол сдвига фаз между ними. В схеме на рис. 1.1 – это напряжение между точками схемы 2 и 5 и ток I₃.

Напряжение между точками равно разности потенциалов этих точек:

 

U₂₅=φ₂-φ₅=(22,981 - j39,804)-( 7,329-j62,355)=30,31+j22,551;

 

Полная мощность на ваттметре равна:

 

Q=U₂₅∙I₃=(30,31+j22,551) ∙(1,324-j1,397)=71,634-j12,486;

 

Показания ваттметра находим как действительную часть от полной мощности:

 

P_W=71,634, Вт.

 

 

1.5. Построение круговой диаграммы

 

Построим круговую диаграмму для тока I₂ при изменении X_C1 от нуля до бесконечности. При X_C1= найдем напряжение холостого хода U_xx. Для расчета используем метод контурных токов.

 

I₂=0, A

I₂₂=I_K=2,273+j2,708=3,536e^j50, A

I₁₁∙Z₁₁-I₂₂∙Z₁₂=E₁₁,

где Z₁₁- собственное сопротивление контура 1; Z₁₂- взаимное сопротивление контуров 1 и 2; E₁₁- контурная ЭДС.

 

Z₁₁=R₁+R₂+R₃+j(X_L1+X_L3-X_C2-X_C3)=2+9+4+j(18,84+31,4-5,3-26,5)=

=15+j18,44=23,77e^j51, Ом;

Z₁₂=R₃+j(X_L3-X_C3)=4+j(31,4-26,5)=4+j4,9=6,3e^j51, Ом.

 

Так как ни один источник ЭДС не входит в контур 1, то:

 

E₁₁=0, В,

 

Подставив найденные сопротивления и ЭДС контуров в уравнение, находим контурный ток I₁₁:

 

I₁₁= =0,6+j0,71=0,93e^j50, А,

I₄=-I₅=I₁₁=0,6+j0,71=0,93e^j50, А,

I₄=I₁=I₂₂=2,273+j2,708=3,536e^j50, A,

I₃=I₂₂-I₁₁=(2,273+j2,708)-( 0,6+j0,71)=1,67+j1,99=2,61e^j50, A.

 

Найдем U_xx из рис. 1.4:

U_xx+E₁ -E₂=I₅R₂;

U_xx=-E₁+I₅R₂+E₂=-(-75,3 - j52,725)+(-0,6-j0,71) ∙9+(22,981 - j39,804)=

=92,96+j6,54=93,19e^j4, В,

 

Из схемы, представленной на рис. 1.5 найдем Z_вх:

 

Z_вх=

= =6,74+j18,27=19,47e^j70, Ом.

 

Разделив напряжение холостого хода на входное сопротивление, получим ток короткого замыкания:

 

1,967-j4,36=4,78e^-j66, А.

 

Формула для расчета тока I₂ имеет вид:

 

;

I_2расч= =6,51-j6,41=9,1e^-j45, А.

Построим совмещенную векторно-топографическую диаграмму в масштабе μ_Z = 2 Ом/см и μ_I = 1 А/см.

 

 

 

 

Рис.1.3. Круговая диаграмма

 

Из диаграммы значение тока равно:

 

I_2диагр=6,54-j6,32=9,1e^-j44, A.

 

Рассчитаем погрешности расчета:

 

Рис.1.4. Схема замещения для расчета контурных токов и U_xx.

 

Рис. 1.5. Схема замещения для расчета Z_вх

2. РАСЧЕТ ЦЕПИ С ВЗАИМНЫМИ ИНДУКТИВНОСТЯМИ

 

Считая, что коммутатор K разомкнут, используя символический подход, перейдем от исходной схемы (рис.1.1) к новой схеме (рис. 2.1)

Найдем взаимные индуктивности катушек:

 

M₁₂=K₁₂∙ =0,9 =0,049, Гн;

M₁₃=K₁₃∙ =0,2 =0,015, Гн;

M₂₃=K₂₃∙ =0,4 =0,028, Гн;

где K₁₂, K₁₃, K₂₃ - коэффициенты связи.

 

Теперь найдем комплексы сопротивлений взаимной индукции:

 

;

;

;

где – циклическая частота.

Для решения данной задачи сначала зададимся условным положительным направлением токов в ветвях. Определим число независимых контуров. Так как данная цепь имеет два узла и три ветви, то контурных токов будет два. Укажем их на схеме и зададимся условным положительным направлением обхода. Токи, текущие в ветвях цепи, будут зависеть от контурных следующим образом:

I₁= I₂₂;

I₂= I₁₁- I₂₂;

I₃= I₁₁;

 

 

Рис. 2.1. Схема для расчёта цепи с взаимными индуктивностями

 

 

Ток I₂₂ равен току на источнике I_K:

 

I₂₂= I_K=2,273+j2,708=3,536e^j50;

 

Запишем уравнения для контурных токов, составленные по второму закону Кирхгофа:

 

I₁₁∙Z₁₁- I₂₂∙Z₁₂=E₁₁,

где Z₁₁ - собственное сопротивление контура 1; Z₁₂ - взаимное сопротивление контуров 1 и 2; E₁₁ - контурная ЭДС.

 

 

Z₁₁=R₁+R₃+j(X_L1+X_L2+X_L3-X_C1-X_C2-X_C3 +2∙X_M13 -2∙X_M12 -2∙X_M23)=

=2+4+j(18,84+15,71+31,4-10,62-5,31-26,5+2∙4,71-2∙15,39-2∙8,8)=

=6-j15,42, Ом,

Z₁₂= R₃+j(X_L3-X_C3+X_M13 -X_M23)=4+j(31,4-26,5+4,71-8,8)=4+j0,81, Ом,

E₁₁=E₁-E₂=(-75,3-j52,725)-(22,981-j39,804)=-98,281-j12,981, В.

 

Подставив найденные сопротивления и ЭДС контуров в уравнение, находим контурный ток I₁₁, он равен:

 

, А.

 

Подставив найденные контурные токи в систему, получим:

 

I₁= I₂₂=2,273+j2,708=3,536e^j50;

I₂= I₁₁- I₂₂=(-1,98-j5,16)-( 2,273+j2,708)=-4,25-j7,85=8,94e^-j118;

I₃= I₁₁=-1,98-j5,16=5,53e^-j111.

 

 

Выполним проверку расчетов по второму закону Кирхгофа:

 

I₃∙(R₁+j(X_L1+X_L2-X_C1-X_C2 +X_M13 -2∙X_M12 -X_M23))+I₂∙( R₃+j(X_L3-X_C3+X_M13 -

-X_M23))=(-1,98-j5,16)∙(2+j(18,84+15,71-10,62-5,31+4,71-2∙15,39-8,8))+

+(-4,23-j7,84)∙( 4+j(31,4-26,5+4,71-8,8))=-98,28-j12,97;

E₁₁=E₁-E₂=(-75,3-j52,725)-(22,981-j39,804)=-98,36-j12,93, В.

 

Определим погрешности расчета:

 

 

Погрешность менее 5%, следовательно, расчет выполнен верно.

Перейдем к мгновенным значения токов:

 

i₁(t) = I₁∙ sin(314t + ψ₁) = 5∙sin(314t +50° ), A;

i₂(t) = I₂∙ sin(314t + ψ₂) = 12,63∙sin(314t -118° ), A;

i₃(t) = I₃∙ sin(314t + ψ₃) = 7,82∙sin(314t -111° ), A.

 

 

3.РАСЧЕТ ЦЕПИ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА, СОЕДИНЕННОЙ ПО СХЕМЕ ЗВЕЗДА

 

Так как по условию нам дано действующее значение линейного напряжения, найдем действующее значение фазного напряжения:

 

U_Ф= , В.

 

Сдвиг фаз между напряжениями в ветвях составляет 120 , то фазные напряжения источника будут равны:

 

U_A= =127,02, В;

U_B= , В;

U_C= , В.

 

Найдем полные проводимости соответствующих фаз нагрузки:

 

Y_a= = =0,03+j0,01, См;

Y_b= = =0,02-j0,02, См;

Y_c= = =0,02, См.

 

При расчетах фазным сопротивлением источника обычно пренебрегают, и фазные напряжения считают равными фазным ЭДС. Т.к. нагрузка несимметрична, то возникает напряжение смещения нейтрали, которое равно:

 

U_nN=

=-18,1+j33,7=38,253e^j118.

 

Найдем фазные и линейные напряжения на нагрузке:

 

 

По фазным напряжениям на нагрузке найдем фазные токи:

 

 

Для проверки правильности нахождения фазных токов можно непосредственно воспользоваться первым законом Кирхгофа для узла n:

 

I_a+I_b+I_c=( )+( )+( )=0.

 

По найденным значениям построим совмещенную векторно-топографическую диаграмму фазных и линейных напряжений и токов.

 

 

Рис.3.1. Совмещенная векторно-топографическая диаграмма фазных и линейных напряжений и токов

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В курсовой работе были использованы способы расчёта электрических цепей синусоидального тока методом узловых потенциалов и контурных токов. Также приведены примеры построения совмещённых векторно-топографических и круговых диаграмм. Выполнены расчёты балансов мощностей и погрешностей, расчёт цепи с учётом индуктивной связи катушек индуктивности. В третьей части курсовой работы описан способ расчёта трёхфазной цепи синусоидального тока.

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Методические указания к оформлению учебно-технической документации/ Сост. А.Н. Шпиганович, В.И. Бойчевский, Липецк: ЛГТУ. 1997. - 32 с.

2. Методические указания и контрольные задания к курсовой работе № 1 по теоретическим основам электротехники «Анализ электрического состояния однофазных и трёхфазных цепей»/Липецкий государственный технический университет; Сост. В.И. Бойчевский, А.Н. Шпиганович, Липецк, 1997. - 18 с.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1973. - 752 с.

4. Атабеков Г.Н. Теоретические основы электротехники. Ч.1. Линейные электрические цепи.– М.: Энергия, 1987. - 592 с.

5. Нейман Л.Р., Демирчан А.С. Теоретические основы электротехники. Том 1.- Л.: Энергоиздат, 1981. - 536 с.