Метод линейного программирования

Введение

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты, затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость. Задача сводится к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным. Критерием оптимальности в данной курсовой работе является прибыль от эксплуатации оборудования.

Для решения такой задачи применяются методы математического программирования: линейного и динамического. Если критерий эффективности (целевая функция) и система ограничений линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно — через уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Постановка задачи

«Отопительные батареи» — компания по производству чугунных, биметаллических, алюминиевых и стальных батарей:

- чугунные;

- биметаллические;

- алюминиевые;

- стальные.

Для производства этой продукции используются следующие виды ресурсов:

- Чугун;

- Металл;

- Алюминий;

- Сталь;

- Краска;

- Эмаль;

- Крепежи.

Предполагаемые цены на данные ресурсы:

Ресурсы	Года
Чугун
Металл
Алюминий
Сталь
Краска (л)
Эмаль (л)
Крепежи (шт)

 

Количество затрачиваемых ресурсов для производства единицы продукции при её производстве на новом оборудовании (после замены старого):

 

Вид продукции	Ресурсы
Чугун (кг)	Металл (кг)	Алюминий (кг)	Сталь (кг)	Краска (л)	Эмаль (л)	Крепежи()шт
Чугунные	0,100				0,15	0,2
Биметаллические		0,26
Стальные				0,45	1,5
Алюминевые			2,3		1,5

 

Количество затрачиваемых ресурсов для производства единицы продукции при её производстве на старом оборудовании (при сохранении):

 

Вид продукции	Ресурсы
Чугун (кг)	Металл (кг)	Алюминий (кг)	Сталь (кг)	Краска (л)	Эмаль (л)	Крепежи()шт
Чугунные	0,150				0,16	0,2
Биметаллические		0,360			2,1
Стальные				0,5	1,6
Алюминевые			2,7		1,6

 

Себестоимость единицы продукции, прогнозные рыночная цены и прибыль по каждому году при различных стратегиях эксплуатации оборудования представлены в таблицах:

 

 

2010 год

замена

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

 

2010 год

сохранение

 

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

2011 год

замена

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

 

2011 год

Сохранение

 

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

2012 год

замена

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

2012 год

сохранение

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

2013 год

замена

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

2013 год

сохранение

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

2014 год

замена

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

2014 год

сохранение

Вид продукции	С/с (руб.)	Рыночная цена (руб.)	Прибыль (руб.)
Чугунные
Биметаллические
Алюминиевые
Стальные

 

 

Обязательства по поставкам/емкость рынка:

Вид продукции	Года
Чугунные	130/1000	145/1105	156/1220	167/1255	170/1350
Биметаллические	140/1110	148/1225	158/1265	165/1295	180/1305
Алюминиевые
Стальные

 

 

Запасы ресурсов на складах предприятия на начало 2010 года:

Ресурсы	Кол-во
Дерево (куб. м)
Чугун
Металл
Алюминий
Сталь
Краска (л)
Эмаль (л)
Крепежи (шт)

 

Выделяемые суммы финансовых ресурсов на покупку мат. ценностей по годам (в рублях):

	Года
Сумма на покупку ресурсов

 

 

Затраты на ремонт и первоначальная стоимость оборудования:

	год
Замена	Сохранение	Замена	Сохранение	Замена	Сохранение	Замена	Сохранение	Замена	Сохранение
Затраты на ремонт
Первоначаль-ная стоимость оборудования
Остаточная стоимость оборудования

 

	год
Замена	Сохранение	Замена	Сохранение	Замена	Сохранение	Замена	Сохранение	Замена	Сохранение
Затраты на ремонт
Первоначаль-ная стоимость оборудования	420 000	520 000	600 000	685 000	780 000
Остаточная стоимость оборудования	420 000

 

Необходимо найти такой план замены и эксплуатации оборудования, при котором предприятие получило бы максимальную прибыль.

Математическая модель

Вид модели:

- целевая функция;

- объем производства чугунных батарей (в штуках);

- объем производства биметаллических батарей;

- объем производства алюминиевых батарей;

- объем производства стальных батарей;

- объем закупки чугуна;

- объем закупки металла;

- объем закупки алюминия;

- объем закупки стали;

- объем закупки эмали;

- объем закупки крепежей;

- объем закупки краски;

- затраты на ремонт оборудования;

- первоначальная стоимость оборудования;

- запасы -го ресурса на начало года

- объем выделенных финансов на закупку ресурсов на год

- цена единицы -го ресурса

- обязательства по поставкам -го вида продукции

- емкость рынка -го виду продукции

- необходимое количество -го ресурса для производства -го вида продукции

Общий вид модели при замене оборудования:

В нашем случае (на примере 2004 года):

Общий вид модель при сохранении оборудования:

В нашем случае (на примере 2004 года):

Методы решения

Для решения поставленной задачи необходимо использовать два метода решения оптимизационных задач: методы линейного и динамического программирования.

Метод линейного программирования

В данной задаче этим методом мы решаем задачу использования ресурсов для каждого года при различных стратегиях эксплуатации оборудования.

Общий вид модели:

— ограничения на ресурсы;

— целевая функция;

— условие неотрицательности.

Задача сводится к нахождению максимума целевой функции, который покажет максимальную прибыль предприятия при соответствующих ограничениях.

Ограничения на ресурсы показывают, что для производства всей продукции -го вида может использоваться не более единиц -го ресурса.

В целевой функции прибыль от реализации всей продукции ( ) стремится к максимуму.

В данной работе задача использования ресурсов методом линейного программирования реализуется в среде MathCad.