Синтез линейной системы

Введение

Современные автоматически системы является основным звеном автоматизации и механизации всех отраслей народного хозяйства и уровень его состояния определяет решение задач, направленных на повышение производительности, точности работы оборудования, также на создание производительных комплексов энергосберегающих и безлюдных технологий.

Системы автоматического управления (САУ) осуществляют необходимые движения в механообрабатывающих станках, различных перерабатывающих машинах, транспортных средствах, а также в подъемных установках, устройствах первичной обработки, в приборах и аппаратах точной механики и прочих промышленных установках.

Особенность систем САУ состоит в том, что необходимая для преобразования и регулирования энергии обработка информации осуществляется в них автоматически. Благодаря применению автоматики человек, с одной стороны, освобождается от тяжелого физического труда, а с другой – с него снимаются функции переработки информации и принятия действий по управлению. Отсюда, в частности, вытекают результаты, которые в совокупности обеспечивают улучшение условий труда занятых в производственном процессе людей, а также приводят к значительному росту эффективности процесса производства в масштабах всего общества.

В зависимости от принципа и закона функционирования задающего устройства (ЗУ), задающего программу изменения выходной величины, различают основные виды САУ: системы стабилизации, программные, следящие и самонастраивающиеся системы, среди которых можно выделить экстремальные, оптимальные и адаптивные системы.

В системах стабилизации обеспечивается неизменное значение управляемой величины при всех видах возмущений, т.е. y(t) = const. ЗУ формирует эталонный сигнал, с которым сравнивается выходная величина. ЗУ, как правило, допускает настройку эталонного сигнала, что позволяет менять по желанию значение выходной величины.

В программных системах обеспечивается изменение управляемой величины в соответствии с программой, формируемой ЗУ. В качестве ЗУ может использоваться кулачковый механизм, устройство считывания с перфоленты или магнитной ленты и т.п. К этому виду САУ можно отнести заводные игрушки, магнитофоны, проигрыватели и т.п. Различают системы с временной программой (например, рис.1), обеспечивающие y = f(t), и системы с пространственной программой, в которых y = f(x), применяемые там, где на выходе САУ важно получить требуемую траекторию в пространстве, например, в копировальном станке, закон движения во времени здесь роли не играет.

Следящие системы отличаются от программных лишь тем, что программа y = f(t) или y = f(x) заранее неизвестна. В качестве ЗУ выступает устройство, следящее за изменением какого-либо внешнего параметра. Эти изменения и будут определять изменения выходной величины САУ. Например, рука робота, повторяющая движения руки человека.

Все три рассмотренные вида САУ могут быть построены по любому из трех фундаментальных принципов управления. Для них характерно требование совпадения выходной величины с некоторым предписанным значением на входе САУ, которое само может меняться. То есть в любой момент времени требуемое значение выходной величины определено однозначно.

В самонастраивающихся системах ЗУ ищет такое значение управляемой величины, которое в каком-то смысле является оптимальным.

Так в экстремальных системах требуется, чтобы выходная величина всегда принимала экстремальное значение из всех возможных, которое заранее не определено и может непредсказуемо изменяться. Для его поиска система выполняет небольшие пробные движения и анализирует реакцию выходной величины на эти пробы. После этого вырабатывается управляющее воздействие, приближающее выходную величину к экстремальному значению. Процесс повторяется непрерывно. Так как в данных САУ происходит непрерывная оценка выходного параметра, то они выполняются только в соответствии с третьим принципом управления: принципом обратной связи.

Оптимальные системы являются более сложным вариантом экстремальных систем. Здесь происходит, как правило, сложная обработка информации о характере изменения выходных величин и возмущений, о характере влияния управляющих воздействий на выходные величины, может быть задействована теоретическая информация, информация эвристического характера и т.п. Поэтому основным отличием экстремальных систем является наличие ЭВМ. Эти системы могут работать в соответствии с любым из трех фундаментальных принципов управления.

В адаптивных системах предусмотрена возможность автоматической перенастройки параметров или изменения принципиальной схемы САУ с целью приспособления к изменяющимся внешним условиям. В соответствии с этим различают самонастраивающиеся и самоорганизующиеся адаптивные системы.

Следящие системы бывают гидравлические, пневматические и электрические. Электромеханические следящие системы широко используются в различных областях науки и техники, в частности, в приводах металлорежущих станков и промышленных роботах, в механизмах прокатных станов и летучих ножниц, в качестве систем наведения антенн радиотелескопов и оптических телескопов, для стабилизации и синхронизации различных частей машин и устройств.

Основной характеристикой следящей системы является точность, с которой они отрабатывают заданное перемещение, которое зависит от исполнения системы и режимов работы (режим позиционирования, режим отработки линейно изменяющегося сигнала и т.д.). Самый простой из режимов – режим позиционирования. Эти системы и находят наибольшее распространение.

 

2.1 Расчет параметров двигателя

Рассчитаем коэффициенты:

1 Номинальная частота вращения двигателя, с^-1

.

2 Номинальный вращающий момент двигателя, Н×м:

.

3 Конструктивная постоянная машины при номинальных характеристиках, В·с:

.

4 Момент инерции двигателя, кг×м:

.

5 Индуктивность якорной цепи двигателя, Гн:

,

6 Электромеханическая постоянная двигателя постоянного тока, с:

.

7 Электромагнитная постоянная времени, с:

.

8 Коэффициент передачи двигателя, (В·с)^-1:

.

9 Передаточная функция тахогенератора ТГ (безнерционного звена):

.

10 Передаточная функция усилителя У (безинерционного звена):

.

11 Передаточная функция измерительного потенциометра ПД-ПП:

.

Управление двигателем осуществляется по цепи якоря, магнитный поток в зазоре постоянный, а реакция якоря и гистерезис магнитной цепи отсутствует. В этом случае исходные уравнения двигателя оказываются линейными и образуют следующую систему уравнений:

12 Передаточная функция двигателя:

.

 

13. Передаточная функция редуктора:

.

3 Анализ линейной системы

 

3.1 Составим передаточную функцию замкнутой системы, по ней составим характеристическое уравнение и найдём критический коэффициент

усиления системы:

- передаточная функция разомкнутой системы;

- передаточная функция замкнутой системы

- характеристический полином знаменателя замкнутой системы

3.2 Расчет критического коэффициента замкнутой системы

Приравняем характеристический полином нулю - Д(s)=0:

Для получения системы, обеспечивающую заданную статическую ошибку регулирования, возьмем :

 

 

3.3 Анализ работоспособности системы

3.3.1 Расчет и построение логарифмических характеристик разомкнутой исходной системы. Расчет производить в пакете программы MATLAB.

 

% Расчет и построение логарифмических частотных характеристик исходной системы H1=tf([59.26],[0.000459 0.034 1 0]) Transfer function: 59.26 ----------------------------- 0.000459 s^3 + 0.034 s^2 + s margin(H1),grid

 

Рисунок 3.1 - Логарифмические частотные характеристики исходной

разомкнутой системы

По логарифмическим частотным характеристикам определяем запас устойчивости по фазе , по амплитуде h=1,94 дБ. Из данных характеристик видно, что запаса устойчивости недостаточно.

3.3.2 Расчет и построение переходных характеристик замкнутой системы. Расчет производить в пакете программы MATLAB.

 

% Расчет и построение переходных характеристик исходной системы F1=feedback(H1,[1]) Transfer function: 59.26 ------------------------------------ 0.000459 s^3 + 0.034 s^2 + s + 59.26 step(F1),grid

Рисунок 3.2 - Переходная характеристика исходной замкнутой системы

Система обладает недостаточным запасом устойчивости по модулю и фазе, переходный процесс имеет большую колебательность, велико перерегулирование и время перерегулирования.

Необходимо введение внутренней обратной связи скорректированной системы для увеличения запаса устойчивости.

 

3.3.3 Распределение полюсов исходной системы

 

С целью получения диаграммы распределения полюсов и нулей передаточной функции Ф(s) составим скрипт с использованием функции pzmap.

 

%Построение диаграммы распределения полюсов и нулей функции Ф(s)=H H=tf([59.26],[ 0.000459 0.034 1 59.26]); pzmap(H)

Рисунок 3.3 - Распределение полюсов исходной замкнутой системы

Синтез линейной системы

 

4.1 Введение в систему отрицательной тахометрической обратной связи

и оценка качества системы, с использованием корневого метода.

Вводим в систему отрицательную тахометрическую обратную связь, тогда передаточная функция будет иметь вид: ;

;

,

Построим структурную схему

Рисунок 4.1 - Структурная схема системы с тахометрической обратной связью

 

4.1.1 Построим логарифмически-частотные характеристики:

%Расчет и построение логарифмических частотных характеристик исходной системы при введении тахометрической обратной связи H1=tf([7.434],[ 0.000459 0.034 1]); H2=feedback(H1,[0.1]) Transfer function: 7.434 ------------------------------ 0.000459 s^2 + 0.034 s + 1.743 H3=tf([59.26/7.434],[1 0]); H4=series(H2,H3) Transfer function: 59.26 ---------------------------------- 0.000459 s^3 + 0.034 s^2 + 1.743s margin(H4),grid

Рисунок 4.2 - Логарифмические частотные характеристики системы при введении тахометрической обратной связи.

По логарифмическим частотным характеристикам определяем запас устойчивости по фазе , по амплитуде h=6.77 дБ.

Из характеристик видно, что запас устойчивости по амплитуде недостаточный.

4.1.2 Вычисляем переходную характеристику системы:

 

%Расчет и построение переходных характеристик исходной системы при введении тахометрической обратной связи F1=feedback(H4,[1])   Transfer function: 59.26 ----------------------------------------- 0.000459 s^3 + 0.034 s^2 + 1.743s + 59.26 step(F1),grid

Рисунок 4.3 - Переходная характеристика замкнутой системы при введении тахометрической обратной связи

 

Переходный процесс при введении тахометрической обратной связи протекает более плавно.

 

Переходный процесс имеет перерегулирование:

.

Необходимо ввести корректирующее звено, которое позволит добиться заданного запаса устойчивости и качеств переходного процесса.

 

4.1.3 Распределение полюсов системы при введении тахометрической обратной связью:

 

%Построение диаграммы распределения полюсов и нулей функции Ф(s)=H H=tf([59.26],[ 0.000459 0.034 1.743 59.26]); pzmap(H)

Рисунок 4.4 - Распределение полюсов замкнутой системы при введении

тахометрической обратной связи

 

4.2. Коррекция системы. Синтез корректирующего звена по заданным

показателям точности и качества

 

4.2.1 Структурная схема и параметры следящей системы показаны

на рисунке 4.5.

Рисунок 4.5 - Структурная схема следящей системы

Требования, предъявляемые к следящей системе: 1) запас устойчивости по фазе 98º; 2) время переходного процесса 0,2 с.

Передаточная функция интегрирующего звена может быть представлена в виде:

где и .

Так как α > 1, то фазовая частотная характеристика корректирующего звена обладает свойством отставания по фазе. Максимальный фазовый сдвиг звена имеет место на частоте .Включение интегрирующего звена в цепь регулирования системы видоизменяет низкочастотную часть частотных характеристик. При этом частота среза скорректированной системы смещается в область низких частот, что позволяет существенно повысить запас устойчивости системы. Кроме того, включение интегрирующего корректирующего звена уменьшает установившуюся ошибку системы.

Рассмотрим логарифмические частотные характеристики системы при тахометрической обратной связи (рис. 4.6).

Рисунок 4.6 - Логарифмические частотные характеристики системы при введении тахометрической обратной связи

При выборе параметров корректирующего звена пришлось проверить несколько значений, чтобы определить более эффективное:

По логарифмической фазовой частотной характеристике находим частоту ω'_ср=30 с^-1, при которой значение амплитуды равно 1.41 дБ, а фазы составляет .

Найденная частота ω'ср является частотой среза для амплитудной характеристики скорректированной системы. При этой частоте усиление скорректированной системы меньше на 1.41 дБ относительно характеристики исходной системы.

Таким образом, 20lgα= 1.41. Из этого выражения определяем lgα=0,0705 и α=10^0.0705 =1,176.

Выбираем частоту сопряжения ω_z, которая соответствует нулю корректирующего звена, т.е. .

В результате проведенного расчета получаем передаточную функцию корректирующего звена:

 

4.3 Построение логарифмических частотных характеристик

корректирующего звена:

% Расчет и построение логарифмических частотных характеристик корректирующего звена H5=tf([1 25.51],[1.176 25.51]); margin(H5),grid

 

 

Рисунок 4.7 - Логарифмические частотные характеристики

корректирующего звена

% Расчет и построение логарифмических частотных характеристик скорректированной системы % Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы H6=series(H4,H5) Transfer function: 59.26 s + 1512 ------------------------------------------------- 0.0005398 s^4 + 0.05169 s^3 + 2.918 s^2 + 44.47 s margin(H6),grid

Рисунок 4.8 - Логарифмические частотные характеристики системы скорректированной системы

% Передаточная функция замкнутой скорректированной системы F2=feedback(H6,[1]) Transfer function: 59.26 s + 1512 -------------------------------------------------------- 0.0005398 s^4 + 0.05169 s^3 + 2.918 s^2 + 103.7 s + 1512 step(F1,F2),grid

Рисунок 4.9 - Переходные характеристики исходной и скорректированной следящей системы

4.3.1 Сравнительный анализ по показателям качества

 

В скорректированной системе перерегулирование составляет:

.

Из сравнения полученных кривых следует, что переходный процесс в системе с тахометрической системе имеет перерегулирование σ₁ = 29%, тогда как в скорректированной оно составляет σ₂ = 4%.

Время переходного процесса составляет 0,226 сек., т.е. соответствует заданному значению.

 

 

Вывод

При расчете системы при величине коэффициента близкому к критическому имеем малый запас устойчивости по фазе и 1,94 дБ по амплитуде. Ввод в систему тахометрической обратной связи позволил увеличить запас устойчивости до по фазе и 6,77 дБ по амплитуде. Коррекция системы улучшила качество переходного процесса: запас устойчивости по фазе и 7.42 дБ по амплитуде ; время переходного процесса 0,226 сек.и величина перерегулирования 4%, что соответствует заданным требованиям.

 

Список литературы:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления – СПб.: из-во «Профессия», 2004 – 752 с.

2. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического управления. – Новосибирск: из-во НГТУ, 2003 – 364 с.

3. Денисов В.А. Теория автоматического управления: Учебн.пособие , Тольятти,ТГУ, 2007 – 284 с.

 

4. Ким Д. П. Теория автоматического управления – М.: Физматлит, 2003 – 288 с.

5. Теория автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова – М.: Высш. шк., 1986 – Ч1 – 368 с.; Ч2 – 504 с.