B. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты
Складываем два колебания одинаковой частоты, происходящие вдоль осей OX и OY:
Тогда ; после возведения в квадрат и преобразований: ; ; ; . (4.21) В общем случае уравнение (4.21) – это уравнение эллипса (рис.4.9). Частные случаи: 1) ; получим уравнение прямой (точнее, это будет отрезок прямой, поскольку колебания ограничены амплитудой) (рис.4.10а): .
2) ; - прямая (отрезок) на рис.4.10б. 3) ; . Потребуем ещё, чтобы , тогда из (4.21):
. Это – уравнение окружности (рис.4.10в).
С. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот. Фигуры Лиссажу
Складываются колебания: Решение задачи в общем случае очень сложное, поэтому ограничимся примерами. Если частоты относятся как небольшие целые числа: , (4.22) то фигура замкнута; условие замкнутости: . В методе фигур Лиссажу соотношение (4.22) по форме фигуры позволит найти незвестную частоту, если вторая частота известна. Здесь и – число точек пересечения фогуры с осями OX и OY (или прямыми, параллельными этим осям) – см. рис.4.11. а) ; б) ; в) ; г) .
Затухающие колебания. На реальную колебательную систему, кроме упругой (квазиупругой) силы , (4.8) действует сила сопротивления среды . При малых скоростях можно считать пропорциональной скорости движения, а направление её противоположно скорости: , (4.23) здесь r – коэффициент сопротивления среды, – скорость движения. По второму закону Ньютона: ; с учетом того, что , получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний: , (4.24) Здесь приняты следующие обозначения: , (4.25) , (4.26) где β – коэффициент затухания, – циклическая частота собственных колебаний, то есть колебаний системы, если бы затухания не было. Решением дифференциального уравнения (4.24) при условии малости затухания (то есть если β < ω0) является функция , (4.27) в чем можно убедиться путем подстановки (4.27) в (4.24), предварительно найдя производные. При этом будет получено и выражение для круговой частоты и периода затухающих колебаний: ; . (4.28) График функции (4.27) приведен на рис.4.12. Если затухание велико (β>ω0), движение системы не имеет колебательного характера и будет апериодическим (рис.4.13). Этот случай в дальнейшем рассматриваться не будет. Таким образом, если на тело, кроме силы упругости, действует сила сопротивления среды, то тело будет совершать колебательное (но не гармоническое) движение с частотой, зависящей от массы тела m, жесткости пружины k и коэффициента затухания β, характеризующего силу сопротивления среды. При этом частота ω затухающих колебаний оказывается меньше частоты собственных незатухающих колебаний из-за действия тормозящей силы сопротивления. Амплитуда колебаний будет с течением времени уменьшаться по экспоненциальному закону: , (4.29) где – начальная амплитуда колебаний. Быстроту затухания колебаний характеризует логарифмический декремент затуханияλ. Логарифмический декремент затухания – это натуральный логарифм отношения амплитуд двух следующих друг за другом колебаний, то есть амплитуд колебаний в моменты времени t и (t+T): , (4.30) ; . (4.31) Введём время релаксации: ; (4.32) Тогда при : , то есть за время релаксации амплитуда уменьшается в е раз. Число колебаний за время релаксации равно . (4.33) Еще одна важная физическая величина характеризует затухание колебаний – добротность: . (4.34) , (4.35) при условии малости затухания: . Добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации (4.33), (4.34): . (4.35) Можно показать, что добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду: . (4.36)
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (813)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |