Точечные оценки характеристик положения и мер изменчивости

 

Изучить:

а) числовые характеристики, описывающие центр распределения (среднее арифметическое, выборочные мода и медиана);

б) нахождение средней арифметической наблюденных значений случайной величины;

в) нахождение моды выборочной совокупности;

г) нахождение медианы выборочной совокупности.

д) понятие и формулы для нахождения выборочных начальных моментов;

е) понятие и формулы для нахождения выборочных центральных моментов;

ж) понятия и формулы для нахождения выборочной дисперсии, исправленной дисперсии, эмпирических коэффициентов асимметрии и эксцесса.

 

Среднее арифметическое значение выборочной совокупности рассчитывается по формуле:

 

Мода ( ) - значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз.

Медиана ( ) - значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.

Если объем выборки равен 2k-1 (нечетное число), тогда медианой является то значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда наблюдений:

Если n=2k, тогда за медиану мы принимаем половину между и :

Для нашей задачи:

: .

 

 

Аналогично статистическому ряду среднее арифметическое значение интервального ряда распределения рассчитываем по формуле:

 

Мода для интервального ряда рассчитывается по формуле:

где - начало модального интервала;

- длина интервала (шаг);

- относительная частота модального интервала;

- относительная частота до модального интервала;

- относительная частота следующего за модальным интервала.

 

Медиана для интервального ряда рассчитывается по формуле:

где - начало интервала;

- длина интервала (шаг);

- относительная частота интервала;

- относительная накопленная частота предыдущего интервала.

Если дана случайная величина X, определённая на некотором вероятностном пространстве, то -м начальным моментом случайной величины X, где называется величина

и -м центральным моментом случайной величины называется величина

 

Эмпирической (выборочной) дисперсией(S2)называют среднюю арифметическую квадратов отклонений результатов наблюдений от их средней арифметической:

 

В отличие от x̅ выборочная дисперсия имеет математическое ожидание, при любом n не равное дисперсии σ2 , но меньше этой величины на σ2/n. При больших n расхождение несущественно, при конечных же n мы можем «исправить» , помножив её на множитель n/(n-1).

Полученная таким образом исправленная выборочная дисперсия будет:

 

Выборочный коэффициент асимметрии равен

Выборочный коэффициент эксцесса равен

Задание 4

4.1

Для выборки признака X:

- по статистическому ряду найти среднюю арифметическую, выборочные моду и медиану;

 

 

k=10

 

 

4.2

Для выборки признака Y:

- по статистическому ряду найти среднюю арифметическую;

 

 

- по интервальному ряду найти среднюю арифметическую, выборочные моду и медиану.

 

 

 

 

Задание 5

5.1

Найти выборочную дисперсию , исправленную выборочную дисперсию , стандартное отклонение , эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса для статистического ряда признака X.

 

xi	ni	xi-xср	(xi-xср)2	(xi-xср)2ni	(xi-xср)3ni	(xi-xср)4ni
		-3,4	11,56	11,56	-39,304	133,6336
		-2,4	5,76	11,52	-27,648	66,3552
		-1,4	1,96	5,88	-8,232	11,5248
		-0,4	0,16	0,8	-0,32	0,128
		0,6	0,36	1,08	0,648	0,3888
		1,6	2,56	7,68	12,288	19,6608
		2,6	6,76	20,28	52,728	137,0928
сумма				58,8	-9,84	368,784
сумма/20				2,94	-0,492	18,4392

 

Табл.5.1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2

Найти выборочную дисперсию , исправленную выборочную дисперсию , стандартное отклонение , эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса для статистического ряда признака Y.

 

 

уi	ni	уi-уср	(уi-уср)2	(yi-yср)2ni	(yi-yср)3ni	(yi-yср)4ni
		-2,65	7,0225	28,09	-74,4385	197,262
		-1,65	2,7225	8,1675	-13,4764	22,236
		-0,65	0,4225	0,845	-0,5493	0,357
		0,35	0,1225	0,245	0,0857	0,03
		1,35	1,8225	10,935	14,7623	19,929
		2,35	5,5225	11,045	25,9558	60,996
		3,35	11,2225	11,2225	37,5954	125,9445
сумма				70,55	-10,065	426,7545
сумма/20				3,5275	-0,5033	21,3377

 

Табл.5.2.1