III. Разминка. Подготовка учащихся к восприятию материала на основном этапе занятия

Учитель:

Давайте в качестве разминки решим несколько задач по мат. логике из демо-версий ЕГЭ прошлых годов.

Для какого числа X истинно высказывание

A9. ((X>3) \/(X<3)) –> (X<1)

Учитель: Проверим все 4 возможных варианта значения Х и выберем из них тот вариант, когда значением выражения будет истина. Вызывает ученика к доске.

Решение:

Х=1 Выражение будет иметь вид: ((1>3) \/(1<3)) –> (1<1). Определим истинность каждого высказывания. ( 0 \/ 1) –> 0 , откуда 1 –> 0=0 Х=2 Выражение будет иметь вид: ((2>3) \/(2<3)) –> (2<1). Определим истинность каждого высказывания. ( 0 \/ 1) –> 0 , откуда 1 –> 0=0

Х=3 Выражение будет иметь вид: ((3>3) \/(3<3)) –> (3<1). Определим истинность каждого высказывания. ( 0 \/ 0) –> 0 , откуда 0 –> 0=

Х=4 Выражение будет иметь вид: ((4>3) \/(4<3)) –> (4<1). Определим истинность каждого высказывания. ( 1\/ 0) –> 0 , откуда 1 –> 0=0

Ответ: верный ответ № 3

A11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Учитель: Составим таблицы истинности для каждого высказывания, и сравним результат с F.

Ответ: верный ответ 2

В2. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(90<X·X) –> (X < (X -1)) ?

Вспомним таблицу истинности импликации. Импликация истинна в трёх случаях:

0→0;

0→1;

1→1;

Рассуждаем, т.к. вторая часть выражения X < (X -1) всегда ложна, остается только первый случай. (0→0) ; Т.о наибольшее целое число X, при котором 90<X·X ложно равно 9

A10. Какое логическое выражение равносильно выражению (A /\ B) /\ C?

Решение: (способ1).

Учитель:А как вы думаете ребята, не показалось ли вам решение этой задачи слишком громоздким? Я, например, сразу могу сказать вам ответ этой задачи, не строя таблицы истинности. Как вы думаете, каким образом? Правильно, существуют специальные законы преобразования выражений и сегодня мы с вами рассмотрим их.

IV. Изложение нового материала:

Важно подвести ребят к самостоятельному выводу о необходимости преобразований и упрощений выражений. Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности сложно, в таких случаях формулы приводят к нормальной форме, т.е. в формуле отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания. Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований. Законы записаны на слайде, вывести на экран (распечатать по одному экземпляру на парту), и по мере записи на доске, ученики пишут в тетрадь.

Логические законы:

1. Независимость от перестановки мест (коммутативность)

Закон исключенного третьего

А v А = 1 (всегда истина)

В этом выражении что-то одно всегда истина, поэтому результат логического сложения – истина (открыть учебник на странице 353 и прочитать 1 правило - подсказки )

Закон противоречия

А ^ А = 0 (всегда ложь)

В этом выражении что-то одно (либо А, либо А) ложно, поэтому результат логического умножения – ложь.

Далее рассмотрим группу законов, которые необходимо проверить. Проверку произведем путем построения таблиц истинности для правой и левой части законов и последующего их сравнения. для построения таблиц истинности к доске вызвать ученика.

Законы де Моргана

(А ^ В) = А v В

(А v В) = А ^ В

10. Поглощение

А v А ^ В = А

А ^ (А v В) = А

11. Поглощение отрицания

А v ( А ^ В) = А v В

А ^ ( А v В) = А ^ В

Доказать свойства поглощения и поглощения отрицания можно путем упрощения на основе свойств дистрибутивности. (Доказательство оставить для домашней работы)

Импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций, а при решении задач они требуются. Существуют формулы замены данных операций с использованием только операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Так, вместо операции импликации можно использовать следующее тождественное выражение:

A → B = не A V B

Для замены операции эквивалентности существует два выражения:

A равносильно B = (A * B) V (не A * не B)

A равносильно B = (A V не B) * (не A V B)