Расчет средней арифметической в рядах распределения

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов («от _ до»), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд. Рассмотрим следующий пример (табл. 4.3).

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями f(простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

Таблица 4.3

Распределение рабочих АО по уровню ежемесячной оплаты труда в 2000 г.

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду, _ варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), тыс. руб.:

Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 729 руб. в месяц.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем (без доказательства) некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i _ величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от условного нуля» или «способом моментов».

Допустим, что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число A, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов x1.

Тогда новые варианты будут выражаться:

а их новая средняя арифметическая m1 _ момент первого порядка _ формулой:

Она равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е.:

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m1 умножить на i и прибавить А:

(4.6)

Данный способ вычисления средней арифметической из вариационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Расчет средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными табл. 4.4.

Таблица 4.4

Распределение малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 2000 г.

Находим момент первого порядка

Затем, принимая A = 19 и зная, что i = 2, вычисляем х, тыс. руб.:

х = m1i + А = 0 Ч 2 + 19 = 19.

Средняя гармоническая

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение xЧf, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим xЧf= w, откуда f = w/x. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным хи w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (4.2) вместо xf подставим w, вместоf _ отношение w/х и получим формулу средней гармонической взвешенной:

(4.7)

Из формулы (4.7) видно, что средняя гармоническая _ средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождествен на ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = xf,т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:

Например, по данным (табл. 4.5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Таблица 4.5

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам в октябре 2000 г.

Расчет средней цены производится следующим образом:

Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц _ неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг картофеля, руб., по трем коммерческим магазинам может быть исчислена по формуле (4.6) средней гармони ческой взвешенной:

Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать), руб.:

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реальной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (5 700 руб.).

Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле (4.6) освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

(4.8)

где _ отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу;

_ число вариантов.