Метод Гаусса - Зайделя

В связи с тем, что на рассматриваемый нами объект действуют случайные помехи (процесс стохастический), будем дублировать в каждой запланированной точке эксперимент.

В начальной точке (2; -2; 1; 3; 1) проведем двадцать экспериментов и найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение единичного результата.

;

,

где ² – дисперсия;

– среднее квадратическое отклонение;

n– число экспериментов.

σ² =3,217

σ=1,794

Зададимся числом дублей при одних и тех же параметрах x_i. Пусть число повторений в процессе проведения эксперимента равно пяти. Тогда найдем среднее квадратическое отклонение для числа экспериментов m=5.

1,794/5=0,359

Отсюда получим

Следовательно, изменение выходной величины у_iср должно быть

больше при различных значениях параметров х_i, т.е.

> ,

где Y_i –среднее значение критерия оптимальности i-ого цикла;

Y_i+1 –среднее значение критерия оптимальности (i+1) цикла.

Учитываем что, х_i может изменяться в пределах [-5;5]

Из начальной точки с координатами (2; -2; 1; 3; 1) с У_ср=19,6464 ищем минимум критерия поочередно по всем переменным. Используем прием последовательного сканирования, т.е. “шагаем” до первого лучшего значения критерия, применяя алгоритм х₁ⁱ⁺¹=хⁱ₁ h, где h – шаг. Знак «+» или «-» выбирается в зависимости от направления изменения критерия: нужно взять такой знак, при котором критерий уменьшается.

Необходимо выбрать шаг: класс точности промышленного прибора равного 0,5%, при изменении x в интервале [-5:5] получаем:

h_min= (10∙0,5)/100 = 0,05,

где h_min –минимальный шаг изменения x, который мы можем контролировать.

Соответственно шаг h должен быть больше h_min=0,05. Возьмем в первом цикле нашего поиска h=1. Условием окончания поиска будет являться малость изменения критерия оптимальности за один цикл:

>1,077,

где Y_i –среднее значение критерия оптимальности i-ого цикла;

Y_i+1 –среднее значение критерия оптимальности (i+1) цикла.

Так же условием окончания может быть невозможность улучшения критерия оптимальности ни по одной из переменных.

Таблица 1 – Цикл первый, h=1

На данном этапе цикл 1 при шаге h=1 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0;5;-5;0;0), значение критерия у_ср= -97,9916. Следующий цикл заключается опять в поиске минимума функции по переменной x₁, затем по x₂ и далее по x₃, x₄ и x_5.

На следующем этапе уменьшаем шаг h до 0,5

Таблица 2 – Цикл второй, h=0,5

Т.к. улучшений не наблюдается, для уточнения найденного критерия оптимальности уменьшим шаг h до 0,1.

Таблица 3 – Цикл третий, h=0,1

На данном этапе цикл 3 при шаге h=0,1 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0;5;-5;0,3;0), значение критерия у_ср= - 98,7160.

=|-97,9916-(-98,7160)|=0,7244 < 1,077

Так как улучшений не наблюдается ни по одной из переменных, то на этом этапе можно считать, что поиск завершен.

Таким образом, получили точку (0;5;-5;0,3;0), которая является решением поставленной задачи, с критерием оптимальности у_ср= - 98,716.

Чтобы определить, является ли найденный экстремум глобальным или локальным, возьмем новую начальную точку (-2; 2;-1;-3;-1) и проведем заново весь поиск.

σ²=1,893

σ=1,376

Среднее квадратическое отклонение для числа экспериментов m=5:

1,376/5=0,275

Из новой начальной точки (-2;2;-1;-3;-1) с у_cр=9,4800 ищем минимум критерия оптимальности по переменной х₁, х_2, х_3, х₄ и потом х_5.

Таблица 4 – Цикл первый, h=1

На данном этапе цикл 1 при шаге h=1 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0;5;-5;0;0), значение критерия у_ср= -96,7972

Таблица 5 – Цикл второй, h=0,5

На данном этапе цикл 2 при шаге h=0,5 заканчивается. Лучшая точка имеет координаты (0,5;5;-5;0,5;0), значение критерия у_ср= -97,8714

=|-96,7972-(-97,8714)|=1,0742 > 0,825

Проверим на следующем этапе с меньшим шагом не является ли полученная точка искомым экстремумом. Уменьшим шаг h до 0,1.

Таблица 6 – Цикл третий, h=0,1

Т.к. улучшений не наблюдается, для уточнения найденного критерия оптимальности уменьшим шаг h до h_min=0,05

Таблица 7 – Цикл четвертый, h=0,05

Так как улучшений не наблюдается ни по одной из переменных, то на этом этапе можно считать, что поиск завершен.

Таким образом, получили точку (0,5;5;-5;0,5;0), которая является решением поставленной задачи, с критерием оптимальности у_ср= -97,8714.

После проведения поисков методом Гаусса-Зайделя из двух различных начальных точек получили, что исследуемая функция является многоэкстремальной, имеет несколько минимумов. По методу Гаусса-Зайделя, первый минимум находится в точке (0;5;-5;0,3;0) со значением критерия у_ср= - 98,716, второй – в точке (0,5;5;-5;0,5;0) с у_ср= -97,8714. Следовательно, можно сделать вывод о том, что найденный минимум локальный.

.