Бигармоническое уравнение
БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ (от лат. bi-, в сложных словах - двойной, двоякий и греч. harmonikos - слаженный, соразмерный, гармоничный) - дифференц. ур-ние , где - Лапласа оператор. Решения Б. у. наз. бигармонич. функциями, к к-рым относятся, напр., гармонические функции. В приложениях чаще встречается двумерное Б. у.: Осн. краевая задача состоит в отыскании ф-ции и(х, у), непрерывной вместе с первыми производными в замкнутой области S, удовлетворяющей Б. v. внутри S, а на её границе С -условиям: , где - производная но нормали к С, a g(l)и h(l) - непрерывные ф-ции дуги l. Бигармонич. ф-цию можно представить при помощи двух аналитич. ф-ций комплексного переменного z=x+iy : , . Представление и в данном случае позволяет свести осн. краевую задачу к системе краевых задач для аналитич. ф-ций. Этот метод используют в разл. плоских задачах теории упругости и гидродинамики. Бигармоническая функция — функция действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства , имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению: где — оператор набла, — оператор Лапласа. Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид: В полярных координатах: Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат xi. Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f1, f2 или g1, g2 в виде или где а — константа. Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области , удовлетворяющую на границе C условиям где — производная по нормали до C, f1(s), f2(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C. Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций. Бигармонические функции двух переменных допускают также запись с помощью двух аналитических функций комплексной переменной . Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Р. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2280)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |