Пример 6. Определить передаточную функцию объекта регулирования, модель которого задана дифференциальным уравнением

2020-02-04

1873

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Введем в уравнение оператор Лапласа – s и вынесем yиu за скобки.

Делим многочлен правой части дифференциального уравнения на многочлен левой части, получаем выражение передаточной функции

Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1. Составить структурную схему по дифференциальному уравнению объекта и определить передаточную функцию (по примерам 5 и 6)

Варианты заданий:

1	3y⁽³⁾ +6y⁽²⁾ - 3y = u⁽²⁾ - 2u⁽¹⁾ + u	10	3y⁽³⁾ +3y⁽²⁾ + 2y⁽¹⁾ -y = - 4u⁽¹⁾ + u
2	y⁽³⁾ - 3y⁽²⁾ + 2y⁽¹⁾ + 5y = 3u⁽²⁾ + u	11	5y⁽³⁾ - 5y = 3u⁽²⁾ -2u⁽¹⁾ + u
3	-2y⁽³⁾ + 4y⁽²⁾ +2y⁽¹⁾ -5y = u⁽²⁾ - 3u⁽¹⁾ + u	12	4y⁽³⁾ -3y⁽²⁾ + 6y⁽¹⁾ + 2y = 3u⁽²⁾ -2u⁽¹⁾
4	3y⁽³⁾ - 4y⁽²⁾ + 2y⁽¹⁾ =3u⁽²⁾ - u⁽¹⁾	13	12y⁽³⁾ + 4y⁽²⁾ + 3y⁽¹⁾ + 2y = 3 u
5	5y⁽³⁾ - 7y⁽²⁾ - 3y⁽¹⁾ = 2u⁽²⁾ - u	14	6y⁽³⁾ - 4y⁽²⁾ +-2y⁽¹⁾ = 6u⁽²⁾ - 3u⁽¹⁾ + u
6	-3y⁽³⁾ + 4y⁽²⁾ + 6y⁽¹⁾ + 5y = -3 u	15	8y⁽³⁾ +3y⁽²⁾ - 3y = -5u⁽²⁾ - 3u⁽¹⁾ + u
7	2y⁽³⁾ - 4y⁽²⁾ + 5y = - 3u⁽¹⁾ + u	16	3y⁽³⁾ + 3y⁽¹⁾ + 5y = 5u⁽²⁾ +2u⁽¹⁾ + u
8	6y⁽³⁾ -+y⁽²⁾ -y⁽¹⁾ = - 3u⁽¹⁾ + u	17	-4y⁽³⁾ + 4y⁽²⁾ -2y⁽¹⁾ + 7y = 5 u
9	- 4y⁽²⁾ + 3y⁽¹⁾ + 5y = - 2u⁽¹⁾ + u	18	3y⁽³⁾ - 2y⁽²⁾ - 3y⁽¹⁾ = u⁽²⁾ - 4u⁽¹⁾ +2 u

Задание 2

Преобразовать структурную схему и определить эквивалентную передаточную функцию. Варианты заданий приведены в таблице 1. (смотреть примеры 1-4)

Таблица 1.1. Варианты заданий по теме «Структурные схемы»

Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий

Задание 3. (без вариантов заданий, общее). Записать в общем виде главную передаточную функцию системы (рис. 1.47).

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА – теоретическая часть

Общие сведения

В ТАУ основным инженерным методом решения дифференциальных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени, является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменяет более простыми алгебраическими операциями умножения и деления.

Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

1. На первом этапе производят прямое преобразование X ( s ) = L { x ( t )} – от функции времени переходят к функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ.

Здесь ω = 2π f – это известная из электротехники круговая частота, рад/с.

2. Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят собственные значения системы, т. е. корни характеристического уравнения D ( s ) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты числителей простых дробей, на которые в соответствии с собственными значениями разлагается реакция.

3. В конце вычислений выполняют обратное преобразование Лапласа x ( t ) = L ^-1 { X ( s )} – от функции переменной s возвращаются к функции переменной t.

Общее обозначение описанных операций x ( t )÷ X ( s ), где слева строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа, прописной буквой – функция комплексного переменного (изображение), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не равенства, что будет являться грубой ошибкой!).

Таблица 2. Таблица соответствия оригиналов и изображений

Изображение X(s)		Оригинал x(t)
		импульсная функция k ∙δ(t)
	– простой нулевой корень	скачок k∙1(t) или просто k
	– кратный нулевой корень	k ∙tⁿ – степенной ряд от t
	– простой действительный корень	– экспонента
	– кратный действительный корень	, при n > 1
	– сопряженные мнимые корни	k∙sinωt – гармоническая функция
	– сопряженные мнимые корни	k∙cosωt – гармоническая функция
сопряженные комплексные корни , объединенные в одну дробь , с вычислением		а) предпочтительная форма б) через синус в) через косинус
сопряженные комплексные корни (раздельное представление)		перед d ставят плюс, если знаки мнимых частей изображения в числителе и знаменателе совпадают (как показано), и минус в противном случае

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен.

Некоторые типовые входные и их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X ( s ) = ,

дельта-функция X ( s ) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 2, имеет вид X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s²×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s),

s²×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 ,

Y(s)×(s³ + 5s² + 6s) = 2×s + 12.

Определяется выражение для Y:

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s ( s + 2)( s + 3):

= = - + .

Теперь, используя табличные функции (см. табл. 2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4^.e^-2^t + 2^.e^-3^t.

При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи:

- путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

- путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 1 – определяются корни знаменателя s_i (знаменатель дроби приравнивается к нулю и решается полученное уравнение относительно s);

шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где М _i – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью n , то ему ставится в соответствие n дробей вида ;

шаг 3 – определяются коэффициенты k_i по одному из вариантов расчета.

Продолжение метода:

2020-02-04

1873

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Обсуждение в статье: Пример 6. Определить передаточную функцию объекта регулирования, модель которого задана дифференциальным уравнением

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓