Метод вычисления производной

Метод вычисления производной используют для  кратных полюсов). Ис­ходное изображение необходимо разделить на две части – часть, со­держащую кратные корни, и оставшуюся часть F ( s ). Кратные корни в правой части выражения записывают по убыванию кратности (степе­ни s).

 Пусть разложение функции имеет вид, где

,

тогда формула для вычисления коэффициента числителя             A_r (1< r ≤ j ) дроби с кратным корнем

.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение

.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 2, имеет вид X ( s ) = .    

Тогда или .     

Т.е. это функция с простым корнем s = -1 и корнем s = 0 с кратностью 3

.

Остаток после удаления кратных корней равен

F ( s ) = 1/( s +1) = ( s +1)^-1.

Коэффициенты А₁ и k определяем другим способом, например, подстановкой полюсов

; .

Остальные коэффициенты

r = 2 ,

r = 3

и реакция в целом

изображение - ,

оригинал - .             

Метод вычитания найденной дроби

Этот метод также подходит для кратных полюсов.

 Пример: дана функция с простым корнем s = -1 и корнем s = 0 с крат­ностью 3

.

Находим сразу А₁ = 1 любым методом, например, подстановкой полюсов. Вычитаем найденную дробь из левой части

и определяем А₂ каким-либо методом, например, подстановкой полю­сов

.

Снова вычитаем найденную дробь

.

Осталось найти методом подстановки полюсов А₃ = 1 и k = -1, т.е. получены те же результаты, что и в предыдущем примере.

 

Задание 4.

Решить дифференциальные уравнения с помощью  преобразований (согласно примеру выше) Лапласа с использованием различных методов расчета простых дробей 9выбрать самостоятельно). Варианты заданий приведены в таблице 3.

 

Таблица 3. Варианты заданий по теме «Преобразования Лапласа»

№	Уравнение	№	Уравнение
1		13
2		14
3		15
4		16
5		17
6		18
7		19
8		20
9		21
10		22
11		23
12		24

 

Передаточные функции АСР. Устойчивость САР

       Задание 5. Выполнить согласно своему варианту.

Общее задание

 

      

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

- передаточную функцию разомкнутой системы W_∞(s),

- характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

- передаточные функции замкнутой системы Ф_з(s) – по заданию,

Ф_в(s) – по возмущению, Ф_Е(s) – по ошибке,

- коэффициенты усиления АСР,

- устойчивость системы.

 

       ОБРАЗЕЦ

       Дан ПИ-регулятор с ПФ вида W_p = 2 +  и объект управления, описываемый дифференциальным уравнением

.

       Определяется передаточная функция объекта:

.

       Тогда передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.

       ХВЗС:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

       Передаточные функции замкнутой системы:

 - по заданию,

 - по ошибке,

 - по возмущению.

       По передаточным функциям определяются коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

       К_з = Ф_з(0) = 1 – по заданию;          

       К_Е = Ф_Е(0) = 0 – по ошибке;           

       К_в = Ф_в(0) = 0 – по возмущению.  

       Устойчивость АСР определяется по критерию Гурвица.

        Поскольку коэффициенты ХВЗС а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1 (степень полинома n = 4), то матрица Гурвица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ₁ = 5 > 0,

,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

       Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива. ♦

 

       Варианты заданий

Вариант	ПФ регулятора	Дифференциальное уравнение ОУ
1	Wp = 4 + ;
2	Wp = 5 + ;
3	Wp = 0,5
4	Wp = 2 + ;
5	Wp = 1 + ;
6	Wp = 4
7	Wp = 5 + ;
8	Wp = 8
9	Wp = 4 + ;
10	Wp =
11	Wp = 1 + ;
12	Wp = 1 +
13	Wp = 5 + ;
14	Wp = 1 + ;
15	Wp = ;
16	Wp = 1 + ;
17	Wp = 1 + ;
18	Wp = 2
19	Wp = 4
20	Wp = ;
21	Wp = 2 + ;
22	Wp = 1 + ;
23	Wp = 0,5 + ;
24	Wp = 0,1
25	Wp = 0,2 + ;
26	Wp = 2 + ;