Лекция 29-30. Приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа соответственно прямыми х=а и x=b, снизу отрезком оси Ох, вычисляется по формуле (1) Если при , то (2) Эти формулы можно объединить в одну (3) Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , причем , прямыми х=а и x=b вычисляется по формуле (4) Если криволинейная трапеция ограничена кривой , прямыми y=c, y=d и отрезком оси Оу, то её площадь вычисляется по формуле (5) Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , прямыми х=а и x=b и отрезком оси Ох, то её площадь вычисляется по формуле (6) где t1 и t2 определяются из равенств . Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами , вычисляется по формуле (7) Вычисление длины дуги кривой Пусть кривая на плоскости задана уравнением или . На кривой выбраны точки А и В с координатами: А(а,с), В(c,d). Длина l дуги кривой от точки А до В вычисляется по формуле: (1) и (2). Если кривая задана параметрическими уравнениями , то длина дуги вычисляется по формуле (3). Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги кривой вычисляется по формуле (4). Объем тела вращения Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ох и двумя вертикалями х=а и x=b (рис.4), вычисляется по формуле (1). Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Оу и двумя параллелями у=с и y=d , вычисляется по формуле Площадь поверхности вращения Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой между точками с абсциссами х=а и x=b, выражается формулой (1). ( - дифференциал дуги кривой). Если кривая задана параметрическими уравнениями , то (2) где t1 и t2- значения параметра t, соответствующие концам вращаемой дуги. Физические (механические) приложения определенного интеграла А) Путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью , за промежуток времени , выражается интегралом: Б) Работа переменной силы, заданной функцией и направленной вдоль оси Ох на отрезке равна интегралу: В) Давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости («закон Паскаля»), т. е. , где ускорение свободного падения, - плотность жидкости, — площадь пластинки, - глубина ее погружения. Давленое жидкости на вертикальную пластину, ограниченную линиями х = а, х = в, и , вычисляется по формуле Г) Статические моменты, относительно координатных осей, моменты инерции и координаты центра тяжести плоской дуги , , находятся соответственно по формулам где - дифференциал дуги. (здесь — координаты центра тяжести, а т — масса кривой).
СЕМЕСТР
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (404)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |