Иррациональные уравнения с параметрами
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример. Пример. В зависимости от значений параметра решить уравнение (1) Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений. Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе или системе (2) Решая уравнение из системы (2), находим (3) откуда следует, что при уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система , т.е. при Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему приходим к выводу, что . Замечая теперь, что при дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем Ответ: если , то решений нет; если , то ; если , то ; если , то .
Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни. Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень в исходное уравнение, придем к соотношению , откуда . Если же подставить корень в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, . Учитывая теперь, что при корней нет, а при имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.
Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и в том случае, когда корни квадратного трехчлена не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы Решая эту систему, находим, что . При уравнение (1) имеет решение . Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При решений нет.
Способ 4. Рассмотрим графики функций и заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).
Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет. При графики касаются и уравнение (1) имеет один корень . При уравнение (1) будет иметь корни и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2). При графики функций и пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение (см. рис. 6.3)
Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде Построив тогда в плоскости график функции при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.
Ответ: если , то решений нет; если , то ; если , то ; если , то .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (190)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |